เครื่องคำนวณปริพันธ์: หาปริพันธ์จำกัดเขตและไม่จำกัดเขต (ปฏิยานุพันธ์)

เครื่องคำนวณอินทิกรัลสำหรับหาปริพันธ์ของฟังก์ชันด้วยวิธี: การแทนค่าตัวแปร เศษส่วนตรรกยะ สัมประสิทธิ์ไม่กำหนด การแยกตัวประกอบ อตรรกยะเชิงเศษส่วนเส้นตรง วิธีออสโตรกราดสกี วิธีตรง การอินทิเกรตทีละส่วน การแทนค่าออยเลอร์ ทวินามเชิงอนุพันธ์ การอินทิเกรตที่มีค่าสัมบูรณ์ ฟังก์ชันปริพันธ์ การแปลงเลขยกกำลัง ตรีโกณมิติ และไฮเพอร์โบลิก การลดกำลัง และการจัดกลุ่ม สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขตใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส พร้อมคำนวณลิมิตที่จุดไม่ต่อเนื่อง

หาปริพันธ์เทียบกับ

ขีดจำกัดบน			+∞
ขีดจำกัดล่าง			-∞

กำลังโหลดเนื้อหา

การป้อนข้อมูลรับรู้ชื่อเรียกอื่นๆ สำหรับฟังก์ชัน เช่นasin, arsin, arcsin, sin^-1

เครื่องหมายคูณและวงเล็บจะถูกเพิ่มโดยอัตโนมัติ, ตัวอย่างเช่น2sinxกลายเป็น2*sin(x)

รายการฟังก์ชันและค่าคงที่ที่รองรับ:

•ln(x) — ลอการิทึมธรรมชาติ

•sin(x) — ไซน์

•cos(x) — โคไซน์

•tan(x) — แทนเจนต์

•cot(x) — โคแทนเจนต์

•arcsin(x) — อาร์คไซน์

•arccos(x) — อาร์คโคไซน์

•arctan(x) — อาร์คแทนเจนต์

•arccot(x) — อาร์คโคแทนเจนต์

•sinh(x) — ไซน์ไฮเพอร์โบลิก

•cosh(x) — โคไซน์ไฮเพอร์โบลิก

•tanh(x) — แทนเจนต์ไฮเพอร์โบลิก

•coth(x) — โคแทนเจนต์ไฮเพอร์โบลิก

•sech(x) — ซีแคนต์ไฮเพอร์โบลิก

•csch(x) — โคซีแคนต์ไฮเพอร์โบลิก

•arsinh(x) — อาร์คไซน์ไฮเพอร์โบลิก

•arcosh(x) — อาร์คโคไซน์ไฮเพอร์โบลิก

•artanh(x) — อาร์คแทนเจนต์ไฮเพอร์โบลิก

•arcoth(x) — อาร์คโคแทนเจนต์ไฮเพอร์โบลิก

•sec(x) — ซีแคนต์

•csc(x) — โคซีแคนต์

•arcsec(x) — อาร์คซีแคนต์

•arccsc(x) — อาร์คโคซีแคนต์

•arsech(x) — อาร์คซีแคนต์ไฮเพอร์โบลิก

•arcsch(x) — อาร์คโคซีแคนต์ไฮเพอร์โบลิก

•|x|, abs(x) — ค่าสัมบูรณ์

•sqrt(x), root(x) — รากที่สอง

•exp(x) —

•a+b —

•a-b —

•a*b —

•a/b —

•a^b, a**b —

•sqrt7(x) —

•sqrt(n,x) —

•lg(x) —

•log3(x) —

•log(a,x) —

•ln^2(x), ln(x)^2 —

•pi —

alpha —

beta —

•sigma —

gamma —

nu —

•mu —

phi —

psi —

•tau —

eta —

rho —

•a123 —

x_n —

mu11 —

ลิงก์ไปยังคำตอบ

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

ตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์ของปฏิยานุพันธ์

อินทิกรัลเดิม

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

ปฏิยานุพันธ์

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

วิธีทำทีละขั้นตอน

กำลังคำนวณ

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

แยกตัวประกอบตัวส่วน

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

การแยกเศษส่วนย่อย

แยกฟังก์ชันตรรกยะเป็นเศษส่วนย่อย

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

ทำให้พจน์ด้านขวามีตัวส่วนร่วม

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

เปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ของพจน์

x^{n}

ในตัวเศษทั้งสองข้าง

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

แทนค่าสัมประสิทธิ์ในการแยกเศษส่วนย่อย

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

เขียนใหม่

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

กฎเชิงเส้น

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

กำลังคำนวณ

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

เขียนอินทิกรัลใหม่โดยใช้

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

กำลังคำนวณ

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

การแทนค่า

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

อินทิกรัลมาตรฐาน

ln (u)

การแทนค่ากลับ

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

กำลังคำนวณ

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

การแทนค่า

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

การแทนค่า

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

ดึงตัวประกอบร่วมออก

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

อินทิกรัลมาตรฐาน

- \frac{1}{3} \cdot arctan (t) = - \frac{arctan ( t )}{3}

การแทนค่ากลับ

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctan ( \frac{2 v}{3} )}{3}

การแทนค่ากลับ

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

กำลังคำนวณ

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

ปรับดิฟเฟอเรนเชียล

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

อินทิกรัลมาตรฐาน

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

กำลังคำนวณ

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

การแทนค่า

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

กฎกำลังสำหรับการอินทิเกรต

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

โดยที่

n = - 2

- \frac{1}{u}

การแทนค่ากลับ

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

กำลังคำนวณ

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

ปรับดิฟเฟอเรนเชียล

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

อินทิกรัลมาตรฐาน

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

arctan (x)

บุ๊กมาร์กหน้านี้ — CTRL+D

ถามคำถามกับ AI