Калькулятор Інтегралів. Рішення Визначених і Невизначених Інтегралів

Калькулятор інтегрує функції використовуючи методи: заміни, раціональних функцій і дробів, невизначених коефіцієнтів, розкладання на множники, дрібно-лінійних ірраціональностей, Остроградського, прямі методи, інтегрування по частинах, підстановки Ейлера, диференціального бінома, інтегрування з модулем, інтегральних функцій, статечних, тригонометричних , гіперболічних перетворень, зниження ступеня підінтегральної функції і угруповань. Для вирішення певних інтегралів застосовується формула Ньютона-Лейбніца і знаходження меж в точках розриву

Інтегрувати по

Верхня межа			+∞
Нижня межа			-∞

Вміст завантажується

Посилання на це рішення

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Обчислити похідну результату

Початковий інтеграл

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Обчислене рішення

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Покрокове рішення

Обчислюємо

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Розкладаємо

Знаменник на множники

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Метод невизначених коефіцієнтів

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

Приводимо до спільного знаменника

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступенях

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Перетворення

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Лінійність

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Обчислюємо

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Угруповання

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Обчислюємо

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Підстановка

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Табличний

ln (u)

Зворотна заміна

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Обчислюємо

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Угруповання

Виділення повного квадрата

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Підстановка

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Підстановка

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Перетворення

Винесення спільного множника

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Табличний

- \frac{1}{3} \cdot arctg (t) = - \frac{arctg ( t )}{3}

Зворотна заміна

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctg ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Зворотна заміна

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Обчислюємо

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Вносимо під диференціал

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Табличний

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Обчислюємо

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Підстановка

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Інтеграл від степеневої функції

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

при

n = - 2

- \frac{1}{u}

Зворотна заміна

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Обчислюємо

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Вносимо під диференціал

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Табличний

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

arctg (x)

d x

C

Додати сторінку в закладки — CTRL+D

Задайте питання ШІ