Calcolatori passo passo:

Questo calcolatore risolve \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — equazioni differenziali ordinarie (EDO) di vari ordini, tra cui:

Equazioni a variabili separabili: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Equazioni omogenee: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Equazioni lineari del primo ordine: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Equazioni della forma: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Equazioni differenziali di Bernoulli: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Equazioni di Riccati: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Equazioni differenziali esatte: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Equazioni differenziali non esatte: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — dove \(\mu\) è un fattore integrante

Equazioni del differenziale totale: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Equazioni non risolte rispetto alla derivata: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Equazioni della forma: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) e \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Equazioni di Eulero-Cauchy: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Il calcolatore risolve anche sistemi di equazioni differenziali ordinarie:

Sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Sistemi lineari non omogenei a coefficienti costanti: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

Risolve inoltre equazioni e sistemi con condizioni iniziali (problemi di Cauchy)

Questo calcolatore risolve \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — integrali indefiniti passo dopo passo utilizzando i seguenti metodi e tecniche:

Formule di integrazione fondamentali: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Regola della somma e differenza: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Regola del fattore costante: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Regola di sostituzione (sostituzione di variabile): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Integrazione di funzioni razionali: trigonometriche \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); iperboliche \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); frazioni parziali \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Metodo dei coefficienti indeterminati: fattorizzazione polinomiale, irrazionalità lineari-fratte \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), metodo di Ostrogradsky-Hermite \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), integrali con radici quadrate di polinomi di secondo grado \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), metodi diretti \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Integrazione per parti \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), sostituzioni trigonometriche e iperboliche, sostituzioni di Eulero, integrali di differenziali binomiali \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Prodotti di potenze di \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) e funzioni iperboliche \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Formule di integrazione standard, integrazione con valori assoluti, funzioni speciali \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), regola della catena inversa \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), sostituzione di Weierstrass (tangente dell'angolo metà), formula di Eulero \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Trasformazioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e iperboliche

Sostituzioni algebriche e raggruppamento con semplificazione

Questo calcolatore risolve \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — integrali definiti calcolando la primitiva e applicando il Teorema fondamentale del calcolo integrale, utilizzando proprietà di simmetria per funzioni pari o dispari su intervalli simmetrici, e proprietà di periodicità

Per gli integrali impropri, il calcolatore valuta i limiti all'infinito e i limiti laterali nei punti di discontinuità all'interno dell'intervallo di integrazione

Funzioni matematiche supportate:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

Il calcolatore risolve equazioni della forma \(f\left(x\right)=0\), tra cui:

Determinazione del dominio di una funzione \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Equazioni lineari \(a\,x+b=0\)

Equazioni quadratiche con coefficienti reali e complessi \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Equazioni cubiche della forma \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Equazioni cubiche \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Equazioni quartiche della forma \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) e \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Prodotti di quattro termini in progressione aritmetica \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Varie equazioni esponenziali, logaritmiche, trigonometriche, iperboliche e inverse

Applicazione del metodo di Ferrari per risolvere equazioni quartiche \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Ricerca delle radici razionali \(x=\dfrac{m}{n}\) e fattorizzazione \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Soluzioni note di equazioni trigonometriche, iperboliche e inverse fondamentali

Calcolo delle radici di numeri complessi \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Sostituzione della tangente dell'angolo metà \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) e \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) dove \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Il teorema binomiale \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Identità polinomiali per somme e differenze \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Riduzione dei termini simili e raccoglimento a fattore comune \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Moltiplicazione incrociata delle frazioni \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) e completamento del quadrato \((a+b)^2+c\)

Elevamento a potenza di entrambi i membri per eliminare i logaritmi naturali

Logaritmi complessi \(\ln\left(a+i\,b\right)\) e formula di Eulero \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Equazioni funzionali fondamentali \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Questo calcolatore calcola la derivata di una funzione \(f\left(x\right)\) o \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) e mostra le regole utilizzate per calcolare la derivata.

Sono definite le seguenti regole:

Derivate comuni di \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Regola della costante: \((c)'=0\)

Regola del multiplo costante: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Regola della somma: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Regola della differenza: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Regola della potenza: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Regola del prodotto: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Regola del quoziente: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Regola del reciproco: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Regola della catena: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Valore assoluto: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Funzione segno: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), dove \(\delta\) è la funzione delta di Dirac

Questa calcolatrice trova il limite di una funzione \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) utilizzando le seguenti proprietà:

Limite di una costante \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Regola del multiplo costante \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Regola della somma e differenza \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Regola del prodotto \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Regola del quoziente \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), se \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Limite di una funzione esponenziale \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Limiti notevoli \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) e \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Teorema del confronto: se \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) e \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

Regola di L'Hôpital: se \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) e \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (o entrambi i limiti uguali a \(\infty\)), allora \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Serie di Taylor \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Applica la moltiplicazione per il coniugato, le sostituzioni e la formula di Eulero

Calcola sia i limiti bilateri \(x\to{a}\) che i limiti unilateri \(x\to{a^+}\)

Questo calcolatore converte un'espressione complessa \(f(z)\) nella sua forma algebrica \(z=a+i\,b\), forma trigonometrica \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) e forma esponenziale \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) utilizzando:

Modulo di un numero complesso: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Radice di un numero complesso: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Potenza di un numero complesso: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Razionalizzazione di una frazione mediante il coniugato: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Logaritmo complesso: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Valore principale del logaritmo complesso: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Identità trigonometriche e iperboliche come \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) o \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), e la formula di Eulero \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Questo calcolatore valuta espressioni matriciali date con le matrici \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) e \(\mathrm{C}\)

Le sue funzionalità includono operazioni matriciali come: addizione \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), sottrazione \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), moltiplicazione \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), determinante \(\left|\mathrm{A}\right|\), trasposta \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), rango \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), inversa \(\mathrm{A}^{-1}\), moltiplicazione per scalare \(a\cdot\mathrm{B}\), o addizione con uno scalare \(c+\mathrm{A}\)

Calcola la derivata degli elementi della matrice \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) o l'integrale degli elementi della matrice \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Applica funzioni matematiche \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) a una matrice elemento per elemento, ad esempio \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Valuta sia valori numerici che combinazioni di operazioni aritmetiche e funzioni