Trinnvis kalkulator:

Denne kalkulatoren løser \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — ordinære differensialligninger (ODEer) av ulike ordener, inkludert:

Separable ligninger: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Homogene ligninger: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Førsteordens lineære ligninger: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Ligninger av formen: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Bernoullis differensialligninger: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Riccati-ligninger: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Eksakte differensialligninger: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Ikke-eksakte differensialligninger: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — hvor \(\mu\) er en integrerende faktor

Totale differensialligninger: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Ligninger ikke løst for den deriverte: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Ligninger av formen: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) og \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Lineære differensialligninger med konstante koeffisienter: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Cauchy-Euler-ligninger: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Kalkulatoren løser også systemer av ordinære differensialligninger:

Lineære homogene systemer med konstante koeffisienter: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Lineære ikke-homogene systemer med konstante koeffisienter: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

Den løser også ligninger og systemer med initialbetingelser (initialverdiproblemer)

Denne kalkulatoren løser \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — ubestemte integraler steg for steg ved hjelp av følgende metoder og teknikker:

Grunnleggende integrasjonsformler: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Sum- og differanseregel: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Konstantmultiplikasjonsregel: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Substitusjonsregel (u-substitusjon): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Integrasjon av rasjonale funksjoner: trigonometriske \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); hyperbolske \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); delbrøkoppspalting \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Metoden med ubestemte koeffisienter: polynomfaktorisering, lineær-brøkete irrasjonaliteter \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), Ostrogradsky–Hermite-metoden \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), integraler med kvadratrøtter av andregradsuttrykk \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), direkte metoder \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Delvis integrasjon \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), trigonometriske og hyperbolske substitusjoner, Euler-substitusjoner, integraler av binomiale differensialer \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Produkter av potenser av \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) og hyperbolske funksjoner \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Standard integrasjonsformler, integrasjon med absoluttverdi, spesialfunksjoner \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), omvendt kjerneregel \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), Weierstrass-substitusjon (halv-vinkel-tangens), Eulers formel \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Eksponensielle, logaritmiske, trigonometriske og hyperbolske transformasjoner

Algebraiske substitusjoner og omgruppering med forenkling

Denne kalkulatoren løser \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — bestemte integraler ved å beregne den antideriverte og anvende analysens fundamentalteorem, ved å bruke symmetriegenskaper for like eller odde funksjoner over symmetriske intervaller, og periodisitetsegenskaper

For uegentlige integraler evaluerer kalkulatoren grenser mot uendelig og ensidige grenser ved diskontinuitetspunkter innenfor integrasjonsintervallet

Støttede matematiske funksjoner:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

Kalkulatoren løser likninger av formen \(f\left(x\right)=0\), inkludert:

Bestemmelse av definisjonsmengden til en funksjon \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Lineære likninger \(a\,x+b=0\)

Andregradslikninger med reelle og komplekse koeffisienter \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Tredjegradslikninger av formen \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Tredjegradslikninger \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Fjerdegradslikninger av formen \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) og \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Produkter av fire ledd i en aritmetisk rekke \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Ulike eksponential-, logaritme-, trigonometriske, hyperbolske og inverse likninger

Anvendelse av Ferraris metode for å løse fjerdegradslikninger \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Finne rasjonale røtter \(x=\dfrac{m}{n}\) og faktorisering \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Kjente løsninger av grunnleggende trigonometriske, hyperbolske og inverse likninger

Finne røtter av komplekse tall \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Halvvinkel-tangenssubstitusjon \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) og \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) der \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Binomialteoremet \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Polynomidentiteter for summer og differanser \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Samle like ledd og faktorisere ut felles faktorer \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Kryssmultiplikasjon av brøker \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) og fullstendig kvadrat \((a+b)^2+c\)

Eksponentiere begge sider for å eliminere naturlige logaritmer

Komplekse logaritmer \(\ln\left(a+i\,b\right)\) og Eulers formel \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Grunnleggende funksjonslikninger \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Denne kalkulatoren beregner den deriverte av en funksjon \(f\left(x\right)\) eller \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) og viser reglene som brukes til å beregne den deriverte.

Følgende regler er definert:

Vanlige deriverte av \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Konstantregelen: \((c)'=0\)

Regel for konstant faktor: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Sumregelen: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Differansregelen: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Potensregelen: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Produktregelen: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Kvotientregelen: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Resiprokregelen: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Kjerneregelen: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Absoluttverdi: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Fortegnsfunksjonen: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), der \(\delta\) er Dirac delta-funksjonen

Denne kalkulatoren finner grenseverdien til en funksjon \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) ved hjelp av følgende egenskaper:

Grenseverdi av en konstant \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Konstantmultiplikasjonsregelen \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Sum- og differanseregelen \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Produktregelen \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Kvotientregelen \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), hvis \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Grenseverdi av en eksponentialfunksjon \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Vanlige grenseverdier \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) og \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Skviseteoremet: hvis \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) og \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

L'Hôpitals regel: hvis \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) og \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (eller begge grenseverdiene er lik \(\infty\)), så er \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Taylor-rekke \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Anvender multiplikasjon med konjugat, substitusjoner og Eulers formel

Evaluerer både tosidige grenseverdier \(x\to{a}\) og ensidige grenseverdier \(x\to{a^+}\)

Denne kalkulatoren konverterer et komplekst uttrykk \(f(z)\) til algebraisk form \(z=a+i\,b\), trigonometrisk form \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\), og eksponentiell form \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) ved hjelp av:

Modulus av et komplekst tall: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Rot av et komplekst tall: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Potens av et komplekst tall: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Rasjonalisering av en brøk ved konjugatet: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Kompleks logaritme: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Hovedverdi av den komplekse logaritmen: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Trigonometriske og hyperbolske identiteter som \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) eller \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), og Eulers formel \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Denne kalkulatoren evaluerer gitte matriseuttrykk med matrisene \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) og \(\mathrm{C}\)

Funksjonaliteten inkluderer matriseoperasjoner som: addisjon \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), subtraksjon \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), multiplikasjon \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), determinant \(\left|\mathrm{A}\right|\), transponering \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), rang \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), invers \(\mathrm{A}^{-1}\), skalarmultiplikasjon \(a\cdot\mathrm{B}\), eller addisjon med en skalar \(c+\mathrm{A}\)

Beregner den deriverte av matriseelementer \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) eller integralet av matriseelementer \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Anvender matematiske funksjoner \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) på en matrise elementvis, for eksempel \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Evaluerer både numeriske verdier og kombinasjoner av aritmetiske operasjoner og funksjoner