เครื่องคำนวณทีละขั้นตอน:

เครื่องคิดเลขนี้แก้สมการ \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODEs) ลำดับต่างๆ รวมถึง:

สมการแยกตัวแปรได้: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

สมการเอกพันธ์: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

สมการในรูปแบบ: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

สมการริกกาตี: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

สมการเชิงอนุพันธ์แม่นตรง: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

สมการเชิงอนุพันธ์ไม่แม่นตรง: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — โดยที่ \(\mu\) คือตัวประกอบอินทิเกรต

สมการอนุพันธ์รวม: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

สมการที่ไม่ได้แก้หาอนุพันธ์: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

สมการในรูปแบบ: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) และ \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

สมการโคชี-ออยเลอร์: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

เครื่องคิดเลขนี้ยังแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ:

ระบบเชิงเส้นเอกพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

ระบบเชิงเส้นไม่เอกพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

นอกจากนี้ยังแก้สมการและระบบสมการที่มีเงื่อนไขเริ่มต้น (ปัญหาค่าเริ่มต้น)

เครื่องคิดเลขนี้แก้ \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — อินทิกรัลไม่จำกัดเขตทีละขั้นตอนโดยใช้วิธีการและเทคนิคต่อไปนี้:

สูตรอินทิกรัลพื้นฐาน: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

กฎผลบวกและผลต่าง: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

กฎการคูณด้วยค่าคงที่: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

กฎการแทนค่า (การแทนค่า u): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

การอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะ: ตรีโกณมิติ \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); ไฮเพอร์โบลิก \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); เศษส่วนย่อย \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

วิธีสัมประสิทธิ์ไม่กำหนด: การแยกตัวประกอบพหุนาม, อตรรกยะเชิงเส้น-เศษส่วน \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), วิธีออสโตรกราดสกี–แอร์มิต \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), อินทิกรัลที่เกี่ยวข้องกับรากที่สองของพหุนามกำลังสอง \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), วิธีตรง \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

การอินทิเกรตทีละส่วน \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), การแทนค่าตรีโกณมิติและไฮเพอร์โบลิก, การแทนค่าออยเลอร์, อินทิกรัลของผลต่างทวินาม \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

ผลคูณของกำลังของ \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) และฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

สูตรอินทิกรัลมาตรฐาน, การอินทิเกรตที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมบูรณ์, ฟังก์ชันพิเศษ \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), กฎลูกโซ่ย้อนกลับ \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), การแทนค่าไวเออร์สตราส (ครึ่งมุมแทนเจนต์), สูตรออยเลอร์ \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

การแปลงเลขชี้กำลัง, ลอการิทึม, ตรีโกณมิติ และไฮเพอร์โบลิก

การแทนค่าพีชคณิตและการจัดกลุ่มใหม่พร้อมการทำให้ง่ายขึ้น

เครื่องคิดเลขนี้แก้ \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — อินทิกรัลจำกัดเขตโดยการคำนวณปฏิยานุพันธ์และใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส, โดยใช้คุณสมบัติสมมาตรสำหรับฟังก์ชันคู่หรือคี่บนช่วงสมมาตร และคุณสมบัติความเป็นคาบ

สำหรับอินทิกรัลไม่ตรงตามเงื่อนไข เครื่องคิดเลขจะประเมินลิมิตที่อนันต์และลิมิตด้านเดียวที่จุดไม่ต่อเนื่องภายในช่วงการอินทิเกรต

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่รองรับ:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

เครื่องคิดเลขนี้แก้สมการในรูปแบบ \(f\left(x\right)=0\) รวมถึง:

การหาโดเมนของฟังก์ชัน \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

สมการเชิงเส้น \(a\,x+b=0\)

สมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

สมการกำลังสามในรูปแบบ \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

สมการกำลังสาม \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

สมการกำลังสี่ในรูปแบบ \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) และ \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

ผลคูณของสี่พจน์ในลำดับเลขคณิต \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

สมการเลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ ไฮเปอร์โบลิก และฟังก์ชันผกผันต่างๆ

การใช้วิธีของเฟอร์รารีในการแก้สมการกำลังสี่ \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

การหารากตรรกยะ \(x=\dfrac{m}{n}\) และการแยกตัวประกอบ \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

คำตอบที่ทราบของสมการตรีโกณมิติ ไฮเปอร์โบลิก และฟังก์ชันผกผันพื้นฐาน

การหารากของจำนวนเชิงซ้อน \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

การแทนค่าด้วยแทนเจนต์ครึ่งมุม \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) และ \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) โดยที่ \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

ทฤษฎีบททวินาม \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

เอกลักษณ์พหุนามสำหรับผลบวกและผลต่าง \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

การรวมพจน์คล้ายและการแยกตัวประกอบร่วม \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

การคูณไขว้ของเศษส่วน \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) และการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ \((a+b)^2+c\)

การยกกำลังทั้งสองข้างเพื่อกำจัดลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมเชิงซ้อน \(\ln\left(a+i\,b\right)\) และสูตรออยเลอร์ \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

สมการเชิงฟังก์ชันพื้นฐาน \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

เครื่องคิดเลขนี้คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\left(x\right)\) หรือ \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) และแสดงกฎที่ใช้ในการคำนวณอนุพันธ์

กฎที่กำหนดไว้มีดังนี้:

อนุพันธ์พื้นฐานของ \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

กฎค่าคงที่: \((c)'=0\)

กฎการคูณด้วยค่าคงที่: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

กฎการบวก: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

กฎการลบ: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

กฎเลขยกกำลัง: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

กฎการคูณ: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

กฎการหาร: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

กฎส่วนกลับ: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

กฎลูกโซ่: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

ค่าสัมบูรณ์: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

ฟังก์ชันเครื่องหมาย: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\) โดยที่ \(\delta\) คือฟังก์ชันเดลตาของดิแรก

เครื่องคิดเลขนี้หาลิมิตของฟังก์ชัน \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) โดยใช้สมบัติต่อไปนี้:

ลิมิตของค่าคงที่ \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

กฎการคูณด้วยค่าคงที่ \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

กฎการบวกและการลบ \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

กฎการคูณ \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

กฎการหาร \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), ถ้า \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

ลิมิตของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

ลิมิตที่ใช้บ่อย \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) และ \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

ทฤษฎีบทบีบ: ถ้า \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) และ \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

กฎของโลปีตาล: ถ้า \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) และ \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (หรือลิมิตทั้งสองเท่ากับ \(\infty\)), แล้ว \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

อนุกรมเทย์เลอร์ \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

ใช้การคูณด้วยสังยุค การแทนค่า และสูตรออยเลอร์

หาทั้งลิมิตสองข้าง \(x\to{a}\) และลิมิตข้างเดียว \(x\to{a^+}\)

เครื่องคิดเลขนี้แปลงนิพจน์เชิงซ้อน \(f(z)\) ไปเป็นรูปแบบพีชคณิต \(z=a+i\,b\), รูปแบบตรีโกณมิติ \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) และรูปแบบเลขชี้กำลัง \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) โดยใช้:

มอดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

รากของจำนวนเชิงซ้อน: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

กำลังของจำนวนเชิงซ้อน: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

การทำให้เศษส่วนเป็นจำนวนตรรกยะโดยใช้สังยุค: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

ลอการิทึมเชิงซ้อน: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

ค่ามุขสำคัญของลอการิทึมเชิงซ้อน: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติและไฮเพอร์โบลิก เช่น \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) หรือ \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\) และสูตรออยเลอร์ \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

เครื่องคิดเลขนี้คำนวณนิพจน์เมทริกซ์ที่กำหนดด้วยเมทริกซ์ \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) และ \(\mathrm{C}\)

ฟังก์ชันการทำงานประกอบด้วยการดำเนินการเมทริกซ์ เช่น: การบวก \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), การลบ \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), การคูณ \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), ดีเทอร์มิแนนต์ \(\left|\mathrm{A}\right|\), ทรานสโพส \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), แรงก์ \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), เมทริกซ์ผกผัน \(\mathrm{A}^{-1}\), การคูณด้วยสเกลาร์ \(a\cdot\mathrm{B}\) หรือการบวกกับสเกลาร์ \(c+\mathrm{A}\)

คำนวณอนุพันธ์ของสมาชิกเมทริกซ์ \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) หรือปริพันธ์ของสมาชิกเมทริกซ์ \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

ใช้ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) กับสมาชิกแต่ละตัวของเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

คำนวณทั้งค่าตัวเลขและการรวมกันของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และฟังก์ชัน