Покрокові калькулятори:

Калькулятор вирішує \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — звичайні диференціальні рівняння (ЗДУ) різних порядків, зокрема:

Рівняння з змінними, що розділяються: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Однорідні рівняння: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Приведення до однорідного підстановкою \(y=z^{\lambda}\)

Лінійні рівняння першого порядку: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Рівняння виду: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Диференціальне рівняння Бернуллі: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Диференційне рівняння Ріккаті: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Рівняння у повних диференціалах: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Пошук інтегруючого множника: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — де \(\mu=\mu\left(x\right)\), \(\mu=\mu\left(y\right)\) або \(\mu=\mu\left(z\left(x,\,y\right)\right)\)

Угруповання повних диференціалів та внесення під диференціал \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\), \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y,\,y',\dots\right)\right)=0\)

Рівняння, не дозволені щодо похідної: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\) — метод введення параметра \(p\,\); обчислення повного диференціалу; заміна \(\mathrm{d}y=p\,\mathrm{d}x\); дозвіл відносно \(y'\)

Уравнения, що допускають зниження порядку - заміна \(y^{\left(k\right)}=z\) для рівнянь виду \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\); підстановка \(y'=p\left(y\right)\) для \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\); однорідне рівняння щодо y та його похідних \(y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\); однорідне відносно \(x\) і \(y\) в узагальненому сенсі

Однорідні та неоднорідні лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\) — зі спеціальною правою частиною; метод варіації постійних

Рівняння Ейлера: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Різні заміни з контексту рівняння

Для рівнянь першого порядку використовується метод Бернуллі або варіації довільної постійної Лагранжа

Тригонометричні та гіперболічні перетворення

Перевірка на втрату приватних рішень

Під час обчислень калькулятор самостійно проводить угруповання, підстановки або примноження рівняння, вибираючи в процесі більш відповідний метод розв'язання

Калькулятор покроково обчислює \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — невизначений інтеграл використовуючи такі методи та прийоми:

Основні табличні інтеграли \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Правило інтегрування суми (різниці) \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Винесення постійної за знак інтеграла \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Заміна змінної \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Інтегрування раціональних функцій: тригонометричних \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); гіперболічних \(\mathrm{R}\left(\operatorname{sh}\left(x\right),\;\operatorname{ch}\left(x\right)\right)\); раціональних дробів \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Методи невизначених коефіцієнтів: розкладання багаточленів на множники, дробово-лінійна ірраціональність \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), метод Остроградського \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), що містять корінь із квадратного тричлена \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), прямі методи \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Інтегрування частинами \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), тригонометричні та гіперболічні підстановки, підстановки Ейлера, інтеграли від диференціального бінома \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Добуток статечних функцій \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) та гіперболічних \(\operatorname{sh}^n\left(x\right)\,\operatorname{ch}^m\left(x\right)\)

Використання відомих формул інтегрування, інтегрування з модулем, інтегральні функції \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), внесення під диференціал \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), універсальна тригонометрична/гіперболічна підстановка, формула Ейлера

Ступінні, логарифмічні, тригонометричні та гіперболічні перетворення

Підстановки, угруповання з використанням спрощень

Завдання обчислення \(\displaystyle\int\limits_{b}^{a}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — певного інтеграла калькулятор вирішує за допомогою невизначеного, застосовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, скорочення періоду при парності або непарності підінтегральної функції при симетричних межах, періодичність

Для обчислення невласних інтегралів розглядаються межі на нескінченності, лівосторонні та правосторонні межі у точках розриву функції на проміжку

Список задіяних математичних функцій:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\operatorname{tg}\) \(\operatorname{ctg}\) \(\operatorname{arctg}\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arcctg}\) \(\operatorname{sh}\) \(\operatorname{ch}\) \(\operatorname{th}\) \(\operatorname{cth}\) \(\operatorname{sch}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsh}\) \(\operatorname{arch}\) \(\operatorname{arth}\) \(\operatorname{arcth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsch}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\operatorname{cosec}\) \(\left|f\right|\)

Калькулятор вирішує \(f\left(x\right)=0\) — рівняння, а саме:

Визначає область допустимих значень \(D\left(f\right)\)

Лінійні рівняння \(a\,x+b=0\)

Квадратні рівняння з речовими та комплексними коефіцієнтами \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Поворотні рівняння 3-го ступеня \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Кубічні рівняння \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Поворотні рівняння 4-го ступеня \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\)

Узагальнені поворотні рівняння 4-го ступеня \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Твір чотирьох членів арифметичної прогресії \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Рівняння різних ступенів, логарифмічні, тригонометричні, гіперболічні та зворотні до них

Застосовує метод Феррарі, рішення кубічної резольвенти для рівняння \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Пошук раціонального кореня \(x=\dfrac{m}{n}\), розкладання на множники \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Табличні формули для тригонометричних, гіперболічних та зворотних до них функцій

Вилучення кореня з комплексного числа \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Тригонометричні та гіперболічні формули та перетворення

Універсальну тригонометричну підстановку \(u=\operatorname{tg}\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Біном Ньютона \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Формули суми та різниці ступенів \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Угруповання доданків, винесення загального множника, поділ і множення обох частин рівняння

Метод пропорцій \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\), виділення повного квадрата \((a+b)^2+c\)

Логарифмування обох частин рівняння, зведення до ступеня

Комплексний логарифм \(\ln\left(a+i\,b\right)\), формулу Ейлера \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Заміни з контексту рівняння

Перехід до простого функціонального рівняння \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Підстановку обчисленого раніше рівняння до поточного рівняння, пошук рішення із значень ОДЗ

Після введення функції \(f\left(x\right)\) або \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) — де \(y=y\left(x\right)\), \(z=z\left(x\right)\) калькулятор відобразить її похідну, разом із правилами на конкретних кроках

Визначено такі правила:

Таблічні функції \(\sin\left(x\right)\), \(\cos\left(x\right)\)\(\,\ldots\), додавання \(u+v\), віднімання \(u-v\), множення \(u\,v\), ділення \(\dfrac{u}{v}\), різні складні функції \(e^{\cos\left(x\right)}\), статечні функції \(x^a\), \(a^x\), модуль \(\left|f\right|\) та знакова функція \(\operatorname{sgn}\left(f\right)\)

Калькулятор знаходить межу функції \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\), використовуючи властивості суми \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)+g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}+\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\), добутку \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\), показової функції \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\) меж, перший \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}\) та другий \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}\) чудові межі, теорему про двох міліціонерів \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\), розкладання на множники, домноження на сопряженное \(\left(a-b\right)\,\left(a+b\right)\), правило Лопіталя \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\), розкладання в ряд Тейлора \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\), підстановки, угруповання та формулу Ейлера. Розглядає як двосторонні \(x\to{a}\), так і односторонні межі \(x\to{a+}\)

Калькулятор наводить комплексне число \(z\) до алгебраїчної \(z=a+i\,b\), тригонометричної \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) чи експоненційній формі \(z=r\,e^{i\,\varphi}\). За допомогою операцій модуля \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\), домноження дробу на сполучене \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\), вилучення кореня \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\), зведення у ступінь \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\), формули для комплексного логарифму \(\operatorname{Ln}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\), тригонометричних \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\), та гіперболічних \(\operatorname{sh}\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\) формул, а також формули Ейлера \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Калькулятор орієнтований на покрокове виконання операцій із матрицями \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) і \(\mathrm{C}\)

У його функціонал входять такі матричні операції як: додавання \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), множення \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), знаходження визначника \(\left|\mathrm{A}\right|\), транспонування \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), обчислення рангу \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), зворотна матриця \(\mathrm{A}^{-1}\), зведення в ступінь \(\mathrm{B}^4\), трикутний вигляд \({\scriptsize\left(\begin{matrix}2&3\\0&5\end{matrix}\right)}\)

Примноження матриці на константу (будь-яку функцію) \(a\cdot\mathrm{B}\) або додавання з константою \(c+\mathrm{A}\)

Обчислення похідної від елементів матриці \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{matrix}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{matrix}\right)}\), і аналогічно - інтегрування матриці \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{matrix}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{matrix}\right)}\)

Поелементне застосування до матриці математичних функцій \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) — \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{matrix}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{matrix}\right)}\)

Калькулятор обробляє як числові значення, і комбінації з арифметичних операцій та функцій

Якщо в ході рішення матриця або пара матриць не задовольняють умову виконання поточної операції — відображаються всі обчислені раніше кроки і наочно вказується невідповідність

При наведенні на обчислені елементи підсвічуються всі значення, що використовуються в обчисленні. Наприклад, при множенні матриць можна побачити які елементи рядка та стовпця задіяні у розрахунку

Усі не матричні операції проводяться у звичайному порядку по ходу обчислень