Стъпка по стъпка калкулатори:

Този калкулатор решава \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — обикновени диференциални уравнения (ОДУ) от различни редове, включително:

Уравнения с разделящи се променливи: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Хомогенни уравнения: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Линейни уравнения от първи ред: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Уравнения от вида: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Диференциални уравнения на Бернули: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Уравнения на Рикати: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Уравнения в пълни диференциали: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Уравнения, които не са в пълни диференциали: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — където \(\mu\) е интегриращ множител

Уравнения с пълен диференциал: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Уравнения, неразрешени относно производната: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Уравнения от вида: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) и \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Уравнения на Коши-Ойлер: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Калкулаторът също решава системи от обикновени диференциални уравнения:

Линейни хомогенни системи с постоянни коефициенти: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Линейни нехомогенни системи с постоянни коефициенти: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

Също така решава уравнения и системи с начални условия (задачи на Коши)

Този калкулатор решава \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — неопределени интеграли стъпка по стъпка, използвайки следните методи и техники:

Основни формули за интегриране: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Правило за сума и разлика: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Правило за константен множител: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Правило за заместване (u-заместване): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Интегриране на рационални функции: тригонометрични \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); хиперболични \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); частични дроби \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Метод на неопределените коефициенти: полиномна факторизация, линейно-дробни ирационалности \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), метод на Остроградски–Ермит \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), интеграли с квадратни корени от квадратни тричлени \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), директни методи \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Интегриране по части \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), тригонометрични и хиперболични замествания, замествания на Ойлер, интеграли от биномни диференциали \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Произведения от степени на \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) и хиперболични функции \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Стандартни формули за интегриране, интегриране с абсолютни стойности, специални функции \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), обратно верижно правило \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), заместване на Вайерщрас (тангенс на половин ъгъл), формула на Ойлер \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Експоненциални, логаритмични, тригонометрични и хиперболични преобразувания

Алгебрични замествания и прегрупиране с опростяване

Този калкулатор решава \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — определени интеграли чрез изчисляване на примитивната функция и прилагане на Основната теорема на смятането, използвайки свойства на симетрия за четни или нечетни функции върху симетрични интервали и свойства на периодичност

За несобствени интеграли калкулаторът изчислява граници в безкрайност и едностранни граници в точки на прекъсване в интервала на интегриране

Поддържани математически функции:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

Калкулаторът решава уравнения от вида \(f\left(x\right)=0\), включително:

Определяне на дефиниционната област на функция \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Линейни уравнения \(a\,x+b=0\)

Квадратни уравнения с реални и комплексни коефициенти \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Кубични уравнения от вида \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Кубични уравнения \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Уравнения от четвърта степен от вида \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) и \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Произведения на четири члена в аритметична прогресия \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Различни експоненциални, логаритмични, тригонометрични, хиперболични и обратни уравнения

Прилагане на метода на Ферари за решаване на уравнения от четвърта степен \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Намиране на рационални корени \(x=\dfrac{m}{n}\) и разлагане на множители \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Известни решения на основни тригонометрични, хиперболични и обратни уравнения

Намиране на корени от комплексни числа \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Субституция с тангенс на половин ъгъл \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) и \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\), където \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Биномна теорема \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Полиномни тъждества за суми и разлики \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Привеждане на подобни членове и изнасяне на общ множител \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Кръстосано умножение на дроби \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) и допълване до пълен квадрат \((a+b)^2+c\)

Потенциране на двете страни за елиминиране на натурални логаритми

Комплексни логаритми \(\ln\left(a+i\,b\right)\) и формула на Ойлер \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Основни функционални уравнения \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Този калкулатор изчислява производната на функция \(f\left(x\right)\) или \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) и показва правилата, използвани за изчисляване на производната.

Дефинирани са следните правила:

Основни производни на \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Правило за константа: \((c)'=0\)

Правило за умножение с константа: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Правило за сума: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Правило за разлика: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Правило за степен: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Правило за произведение: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Правило за частно: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Правило за реципрочна стойност: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Верижно правило: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Абсолютна стойност: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Функция знак: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), където \(\delta\) е делта функцията на Дирак

Този калкулатор намира границата на функция \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\), използвайки следните свойства:

Граница на константа \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Правило за константен множител \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Правило за сума и разлика \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Правило за произведение \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Правило за частно \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), ако \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Граница на показателна функция \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Основни граници \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) и \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Теорема за двама полицаи: ако \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) и \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

Правило на Лопитал: ако \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) и \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (или и двете граници са равни на \(\infty\)), тогава \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Ред на Тейлър \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Прилага умножение по спрегнат израз, замени и формулата на Ойлер

Изчислява както двустранни граници \(x\to{a}\), така и едностранни граници \(x\to{a^+}\)

Този калкулатор преобразува комплексен израз \(f(z)\) в неговата алгебрична форма \(z=a+i\,b\), тригонометрична форма \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) и експоненциална форма \(z=r\,e^{i\,\varphi}\), като използва:

Модул на комплексно число: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Корен на комплексно число: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Степен на комплексно число: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Рационализиране на дроб чрез спрегнатото: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Комплексен логаритъм: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Главна стойност на комплексния логаритъм: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Тригонометрични и хиперболични тъждества като \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) или \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), и формулата на Ойлер \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Този калкулатор изчислява зададени матрични изрази с матрици \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) и \(\mathrm{C}\)

Неговата функционалност включва матрични операции като: събиране \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), изваждане \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), умножение \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), детерминанта \(\left|\mathrm{A}\right|\), транспониране \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), ранг \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), обратна матрица \(\mathrm{A}^{-1}\), умножение със скалар \(a\cdot\mathrm{B}\) или събиране със скалар \(c+\mathrm{A}\)

Изчислява производната на елементите на матрицата \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) или интеграла на елементите на матрицата \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Прилага математически функции \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) поелементно върху матрица, например \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Изчислява както числови стойности, така и комбинации от аритметични операции и функции