Calculadores pas a pas:

Aquesta calculadora resol \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — equacions diferencials ordinàries (EDO) de diversos ordres, incloent:

Equacions separables: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Equacions homogènies: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Equacions lineals de primer ordre: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Equacions de la forma: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Equacions diferencials de Bernoulli: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Equacions de Riccati: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Equacions diferencials exactes: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Equacions diferencials no exactes: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — on \(\mu\) és un factor integrant

Equacions diferencials totals: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Equacions no resoltes respecte a la derivada: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Equacions de la forma: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) i \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Equacions diferencials lineals amb coeficients constants: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Equacions de Cauchy-Euler: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

La calculadora també resol sistemes d'equacions diferencials ordinàries:

Sistemes lineals homogenis amb coeficients constants: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Sistemes lineals no homogenis amb coeficients constants: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

També resol equacions i sistemes amb condicions inicials (problemes de valor inicial)

Aquesta calculadora resol \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — integrals indefinides pas a pas utilitzant els mètodes i tècniques següents:

Fórmules bàsiques d'integració: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Regla de la suma i la diferència: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Regla del múltiple constant: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Regla de substitució (substitució en u): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Integració de funcions racionals: trigonomètriques \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); hiperbòliques \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); fraccions parcials \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Mètode dels coeficients indeterminats: factorització polinòmica, irrationalitats lineal-fraccionàries \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), mètode d'Ostrogradsky–Hermite \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), integrals amb arrels quadrades de quadràtiques \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), mètodes directes \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Integració per parts \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), substitucions trigonomètriques i hiperbòliques, substitucions d'Euler, integrals de diferencials binòmiques \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Productes de potències de \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) i funcions hiperbòliques \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Fórmules estàndard d'integració, integració amb valors absoluts, funcions especials \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), regla de la cadena inversa \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), substitució de Weierstrass (tangent de l'angle meitat), fórmula d'Euler \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Transformacions exponencials, logarítmiques, trigonomètriques i hiperbòliques

Substitucions algebraiques i reagrupament amb simplificació

Aquesta calculadora resol \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — integrals definides calculant la primitiva i aplicant el teorema fonamental del càlcul, utilitzant propietats de simetria per a funcions parells o senars en intervals simètrics, i propietats de periodicitat

Per a integrals impròpies, la calculadora avalua límits a l'infinit i límits laterals en punts de discontinuïtat dins de l'interval d'integració

Funcions matemàtiques suportades:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

La calculadora resol equacions de la forma \(f\left(x\right)=0\), incloent:

Determinació del domini d'una funció \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Equacions lineals \(a\,x+b=0\)

Equacions quadràtiques amb coeficients reals i complexos \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Equacions cúbiques de la forma \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Equacions cúbiques \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Equacions quàrtiques de la forma \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) i \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Productes de quatre termes en una progressió aritmètica \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Diverses equacions exponencials, logarítmiques, trigonomètriques, hiperbòliques i inverses

Aplicació del mètode de Ferrari per resoldre equacions quàrtiques \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Trobada d'arrels racionals \(x=\dfrac{m}{n}\) i factorització \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Solucions conegudes d'equacions trigonomètriques, hiperbòliques i inverses bàsiques

Trobada d'arrels de nombres complexos \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Substitució per la tangent del mig angle \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) i \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) on \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

El teorema del binomi \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Identitats polinòmiques per a sumes i diferències \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Agrupació de termes semblants i extracció de factors comuns \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Multiplicació creuada de fraccions \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) i completar el quadrat \((a+b)^2+c\)

Exponenciació d'ambdós costats per eliminar logaritmes naturals

Logaritmes complexos \(\ln\left(a+i\,b\right)\) i fórmula d'Euler \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Equacions funcionals bàsiques \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Aquesta calculadora calcula la derivada d'una funció \(f\left(x\right)\) o \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) i mostra les regles utilitzades per calcular la derivada.

Es defineixen les regles següents:

Derivades comunes de \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Regla de la constant: \((c)'=0\)

Regla del múltiple constant: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Regla de la suma: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Regla de la diferència: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Regla de la potència: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Regla del producte: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Regla del quocient: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Regla del recíproc: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Regla de la cadena: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Valor absolut: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Funció signe: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), on \(\delta\) és la funció delta de Dirac

Aquesta calculadora troba el límit d'una funció \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) utilitzant les propietats següents:

Límit d'una constant \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Regla del múltiple constant \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Regla de la suma i la diferència \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Regla del producte \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Regla del quocient \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), si \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Límit d'una funció exponencial \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Límits comuns \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) i \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Teorema del sandvitx: si \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) i \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

Regla de L'Hôpital: si \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) i \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (o ambdós límits són iguals a \(\infty\)), aleshores \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Sèrie de Taylor \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Aplica la multiplicació pel conjugat, substitucions i la fórmula d'Euler

Avalua tant límits bilaterals \(x\to{a}\) com límits laterals \(x\to{a^+}\)

Aquesta calculadora converteix una expressió complexa \(f(z)\) a la seva forma algebraica \(z=a+i\,b\), forma trigonomètrica \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) i forma exponencial \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) utilitzant:

Mòdul d'un nombre complex: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Arrel d'un nombre complex: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Potència d'un nombre complex: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Racionalització d'una fracció pel seu conjugat: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Logaritme complex: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Valor principal del logaritme complex: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Identitats trigonomètriques i hiperbòliques com \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) o \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), i la fórmula d'Euler \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Aquesta calculadora avalua expressions matricials donades amb les matrius \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) i \(\mathrm{C}\)

La seva funcionalitat inclou operacions matricials com: suma \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), resta \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), multiplicació \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), determinant \(\left|\mathrm{A}\right|\), transposada \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), rang \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), inversa \(\mathrm{A}^{-1}\), multiplicació per escalar \(a\cdot\mathrm{B}\), o suma amb un escalar \(c+\mathrm{A}\)

Calcula la derivada dels elements de la matriu \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) o la integral dels elements de la matriu \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Aplica funcions matemàtiques \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) a cada element de la matriu, per exemple \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Avalua tant valors numèrics com combinacions d'operacions aritmètiques i funcions