分步计算器：

本计算器求解 \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — 各阶常微分方程（ODE），包括：

可分离变量方程：\(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

齐次方程：\(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

一阶线性方程：\(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

形如下式的方程：\(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

伯努利微分方程：\(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

黎卡提方程：\(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

恰当微分方程：\(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

非恰当微分方程：\(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — 其中 \(\mu\) 为积分因子

全微分方程：\(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

未解出导数的方程：\(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

形如下式的方程：\(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) 和 \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

常系数线性微分方程：\(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

柯西-欧拉方程：\(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

本计算器还可求解常微分方程组：

常系数线性齐次方程组：\(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

常系数线性非齐次方程组：\(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

还可求解带初始条件的方程和方程组（初值问题）

本计算器逐步求解 \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — 不定积分，使用以下方法和技巧：

基本积分公式：\(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

和差法则：\(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

常数倍法则：\(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

换元积分法（u-换元）：\(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

有理函数积分：三角有理函数 \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\)；双曲有理函数 \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\)；部分分式 \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

待定系数法：多项式因式分解、线性分式无理式 \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\)、奥斯特罗格拉德斯基-埃尔米特方法 \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\)、含二次根式积分 \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\)、直接方法 \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

分部积分法 \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\)、三角换元与双曲换元、欧拉换元、二项微分式积分 \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

\(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) 幂次乘积与双曲函数 \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

标准积分公式、含绝对值积分、特殊函数 \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\)、逆链式法则 \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\)、万能代换（半角正切代换）、欧拉公式 \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

指数、对数、三角和双曲变换

代数换元与重组化简

本计算器求解 \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — 定积分，通过计算原函数并应用微积分基本定理，利用对称区间上奇偶函数的对称性质以及周期性质

对于反常积分，计算器计算无穷远处的极限以及积分区间内间断点处的单侧极限

支持的数学函数：

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

本计算器求解形如 \(f\left(x\right)=0\) 的方程，包括：

确定函数的定义域 \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

一次方程 \(a\,x+b=0\)

具有实系数和复系数的二次方程 \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

形如 \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\) 的三次方程

三次方程 \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

形如 \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) 和 \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\) 的四次方程

等差数列四项之积 \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

各种指数方程、对数方程、三角方程、双曲方程和反函数方程

应用费拉里法求解四次方程 \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

求有理根 \(x=\dfrac{m}{n}\) 和因式分解 \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

基本三角方程、双曲方程和反函数方程的已知解

求复数的根 \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

半角正切代换 \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) 和 \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)，其中 \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

二项式定理 \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

和与差的多项式恒等式 \(x^n+y^n\)、\(x^n-y^n\)

合并同类项和提取公因式 \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

交叉相乘 \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) 和配方 \((a+b)^2+c\)

两边取指数以消去自然对数

复对数 \(\ln\left(a+i\,b\right)\) 和欧拉公式 \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

基本函数方程 \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

此计算器计算函数 \(f\left(x\right)\) 或 \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) 的导数，并显示用于计算导数的法则。

定义了以下法则：

\(x\)、\(\sin(x)\)、\(\cos(x)\)、\(\tan(x)\)、\(\cot(x)\)、\(e^x\)、\(a^x\)、\(\ln(x)\)\(\,\ldots\) 的常见导数

常数法则：\((c)'=0\)

常数倍法则：\(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

和法则：\(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

差法则：\(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

幂法则：\(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

乘积法则：\(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

商法则：\(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

倒数法则：\(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

链式法则：\(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

绝对值：\(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

符号函数：\(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\)，其中 \(\delta\) 是狄拉克 δ 函数

本计算器使用以下性质计算函数的极限 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\)：

常数的极限 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

常数倍法则 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

和差法则 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

乘积法则 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

商法则 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\)，若 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

指数函数的极限 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

常用极限 \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) 和 \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

夹逼定理：若 \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) 且 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

洛必达法则：若 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) 且 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\)（或两个极限都等于 \(\infty\)），则 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

泰勒级数 \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

应用共轭乘法、换元法和欧拉公式

计算双侧极限 \(x\to{a}\) 和单侧极限 \(x\to{a^+}\)

此计算器使用以下公式将复数表达式 \(f(z)\) 转换为代数形式 \(z=a+i\,b\)、三角形式 \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) 和指数形式 \(z=r\,e^{i\,\varphi}\)：

复数的模：\(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

复数的根：\(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

复数的幂：\(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

利用共轭复数有理化分式：\(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

复对数：\(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

复对数的主值：\(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

三角恒等式和双曲恒等式，如 \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) 或 \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\)，以及欧拉公式 \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

此计算器用于计算包含矩阵 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\) 和 \(\mathrm{C}\) 的矩阵表达式

其功能包括以下矩阵运算：加法 \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\)、减法 \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\)、乘法 \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\)、行列式 \(\left|\mathrm{A}\right|\)、转置 \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\)、秩 \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\)、逆矩阵 \(\mathrm{A}^{-1}\)、标量乘法 \(a\cdot\mathrm{B}\)，或与标量相加 \(c+\mathrm{A}\)

计算矩阵元素的导数 \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) 或矩阵元素的积分 \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

将数学函数 \(\sin\)、\(\cos\)\(\,\ldots\) 逐元素应用于矩阵，例如 \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

可计算数值以及算术运算和函数的组合