Trin-for-trin regnemaskiner:

Denne beregner løser \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — ordinære differentialligninger (ODE'er) af forskellige ordener, herunder:

Separable ligninger: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Homogene ligninger: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Første ordens lineære ligninger: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Ligninger af formen: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Bernoullis differentialligninger: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Riccatis ligninger: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Eksakte differentialligninger: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Ikke-eksakte differentialligninger: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — hvor \(\mu\) er en integrerende faktor

Totale differentialligninger: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Ligninger ikke løst for den afledede: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Ligninger af formen: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) og \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Lineære differentialligninger med konstante koefficienter: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Cauchy-Euler-ligninger: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Beregneren løser også systemer af ordinære differentialligninger:

Lineære homogene systemer med konstante koefficienter: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Lineære ikke-homogene systemer med konstante koefficienter: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

Den løser også ligninger og systemer med begyndelsesbetingelser (begyndelsesværdiproblemer)

Denne beregner løser \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — ubestemte integraler trin for trin ved hjælp af følgende metoder og teknikker:

Grundlæggende integrationsformler: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Sum- og differensregel: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Konstantregel: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Substitutionsregel (u-substitution): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Integration af rationale funktioner: trigonometriske \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); hyperbolske \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); partialbrøker \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Metode med ubestemte koefficienter: polynomiel faktorisering, lineær-brøk-irrationaliteter \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), Ostrogradsky–Hermite-metoden \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), integraler med kvadratrødder af andengradspolynomier \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), direkte metoder \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Partiel integration \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), trigonometriske og hyperbolske substitutioner, Euler-substitutioner, integraler af binomiale differentialer \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Produkter af potenser af \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) og hyperbolske funktioner \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Standard integrationsformler, integration med absolutte værdier, specielle funktioner \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), omvendt kæderegel \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), Weierstrass-substitution (halv-vinkel-tangens), Eulers formel \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske og hyperbolske transformationer

Algebraiske substitutioner og omgruppering med forenkling

Denne beregner løser \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — bestemte integraler ved at beregne stamfunktionen og anvende analysens fundamentalsætning, ved brug af symmetriegenskaber for lige eller ulige funktioner over symmetriske intervaller, samt periodicitetsegenskaber

For uegentlige integraler evaluerer beregneren grænseværdier ved uendelig og ensidige grænseværdier ved diskontinuitetspunkter inden for integrationsintervallet

Understøttede matematiske funktioner:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

Beregneren løser ligninger af formen \(f\left(x\right)=0\), herunder:

Bestemmelse af definitionsmængden for en funktion \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Lineære ligninger \(a\,x+b=0\)

Andengradsligninger med reelle og komplekse koefficienter \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Tredjegradsligninger af formen \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Tredjegradsligninger \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Fjerdegradsligninger af formen \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) og \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Produkter af fire led i en aritmetisk følge \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Forskellige eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske, hyperbolske og inverse ligninger

Anvendelse af Ferraris metode til at løse fjerdegradsligninger \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Finding af rationale rødder \(x=\dfrac{m}{n}\) og faktorisering \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Kendte løsninger af grundlæggende trigonometriske, hyperbolske og inverse ligninger

Finding af rødder af komplekse tal \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Halvvinkel-tangent substitution \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) og \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) hvor \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Binomialformlen \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Polynomielle identiteter for summer og differenser \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Sammenlægning af ens led og faktorisering af fælles faktorer \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Krydsmultiplikation af brøker \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) og kvadratkomplettering \((a+b)^2+c\)

Eksponentiering af begge sider for at eliminere naturlige logaritmer

Komplekse logaritmer \(\ln\left(a+i\,b\right)\) og Eulers formel \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Grundlæggende funktionalligninger \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Denne beregner udregner den afledede af en funktion \(f\left(x\right)\) eller \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) og viser de regler, der bruges til at beregne den afledede.

Følgende regler er defineret:

Almindelige afledede af \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Konstantreglen: \((c)'=0\)

Konstant faktor-reglen: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Sumreglen: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Differensreglen: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Potensreglen: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Produktreglen: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Kvotientreglen: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Reciprokreglen: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Kædereglen: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Numerisk værdi: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Fortegnsfunktion: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), hvor \(\delta\) er Dirac delta-funktionen

Denne beregner finder grænseværdien af en funktion \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) ved hjælp af følgende egenskaber:

Grænseværdi af en konstant \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Regel for konstant multiplikation \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Regel for sum og differens \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Produktreglen \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Kvotientreglen \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), hvis \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Grænseværdi af en eksponentialfunktion \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Almindelige grænseværdier \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) og \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Indeklemmingssætningen: hvis \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) og \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

L'Hôpitals regel: hvis \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) og \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (eller begge grænseværdier er lig med \(\infty\)), så \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Taylorrække \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Anvender multiplikation med konjugat, substitutioner og Eulers formel

Beregner både tosidede grænseværdier \(x\to{a}\) og ensidede grænseværdier \(x\to{a^+}\)

Denne beregner konverterer et komplekst udtryk \(f(z)\) til dets algebraiske form \(z=a+i\,b\), trigonometriske form \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) og eksponentielle form \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) ved hjælp af:

Modulus af et komplekst tal: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Rod af et komplekst tal: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Potens af et komplekst tal: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Rationalisering af en brøk ved dens konjugerede: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Kompleks logaritme: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Hovedværdi af den komplekse logaritme: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Trigonometriske og hyperbolske identiteter såsom \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) eller \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), og Eulers formel \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Denne beregner evaluerer givne matrixudtryk med matricerne \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) og \(\mathrm{C}\)

Funktionaliteten omfatter matrixoperationer som: addition \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), subtraktion \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), multiplikation \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), determinant \(\left|\mathrm{A}\right|\), transponering \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), rang \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), invers \(\mathrm{A}^{-1}\), skalarmultiplikation \(a\cdot\mathrm{B}\) eller addition med en skalar \(c+\mathrm{A}\)

Beregner den afledede af matrixelementer \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) eller integralet af matrixelementer \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Anvender matematiske funktioner \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) på en matrix elementvis, for eksempel \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Evaluerer både numeriske værdier og kombinationer af aritmetiske operationer og funktioner