Schritt-für-Schritt-Rechner:

Dieser Rechner löst \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) verschiedener Ordnungen, einschließlich:

Trennbare Gleichungen: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Homogene Gleichungen: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Lineare Gleichungen erster Ordnung: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Gleichungen der Form: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Bernoulli-Differentialgleichungen: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Riccati-Gleichungen: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Exakte Differentialgleichungen: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Nicht-exakte Differentialgleichungen: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — wobei \(\mu\) ein integrierender Faktor ist

Totale Differentialgleichungen: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Gleichungen, die nicht nach der Ableitung aufgelöst sind: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Gleichungen der Form: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) und \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Euler-Cauchy-Gleichungen: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Der Rechner löst auch Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen:

Lineare homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Lineare inhomogene Systeme mit konstanten Koeffizienten: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

Er löst auch Gleichungen und Systeme mit Anfangsbedingungen (Anfangswertprobleme)

Dieser Rechner löst \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — unbestimmte Integrale Schritt für Schritt mit folgenden Methoden und Techniken:

Grundlegende Integrationsformeln: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Summen- und Differenzregel: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Faktorregel: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Substitutionsregel (u-Substitution): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Integration rationaler Funktionen: trigonometrische \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); hyperbolische \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); Partialbruchzerlegung \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Methode der unbestimmten Koeffizienten: Polynomfaktorisierung, linear-gebrochene Irrationalitäten \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), Ostrogradski-Hermite-Methode \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), Integrale mit Quadratwurzeln aus quadratischen Ausdrücken \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), direkte Methoden \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Partielle Integration \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), trigonometrische und hyperbolische Substitutionen, Euler-Substitutionen, Integrale von Binomialdifferentialen \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Produkte von Potenzen von \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) und hyperbolischen Funktionen \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Standard-Integrationsformeln, Integration mit Beträgen, spezielle Funktionen \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), Kettenregel rückwärts \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), Weierstraß-Substitution (Halbwinkeltangente), Eulersche Formel \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Exponentielle, logarithmische, trigonometrische und hyperbolische Umformungen

Algebraische Substitutionen und Umgruppierung mit Vereinfachung

Dieser Rechner löst \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — bestimmte Integrale durch Berechnung der Stammfunktion und Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, unter Verwendung von Symmetrieeigenschaften für gerade oder ungerade Funktionen über symmetrische Intervalle sowie Periodizitätseigenschaften

Für uneigentliche Integrale berechnet der Rechner Grenzwerte im Unendlichen und einseitige Grenzwerte an Unstetigkeitsstellen innerhalb des Integrationsintervalls

Unterstützte mathematische Funktionen:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

Der Rechner löst Gleichungen der Form \(f\left(x\right)=0\), einschließlich:

Bestimmung des Definitionsbereichs einer Funktion \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Lineare Gleichungen \(a\,x+b=0\)

Quadratische Gleichungen mit reellen und komplexen Koeffizienten \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Kubische Gleichungen der Form \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Kubische Gleichungen \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Quartische Gleichungen der Form \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) und \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Produkte von vier Termen in einer arithmetischen Folge \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Verschiedene Exponential-, Logarithmus-, trigonometrische, hyperbolische und inverse Gleichungen

Anwendung der Ferrari-Methode zur Lösung quartischer Gleichungen \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Finden rationaler Wurzeln \(x=\dfrac{m}{n}\) und Faktorisierung \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Bekannte Lösungen grundlegender trigonometrischer, hyperbolischer und inverser Gleichungen

Finden von Wurzeln komplexer Zahlen \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Halbwinkel-Tangens-Substitution \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) und \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) wobei \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Der binomische Lehrsatz \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Polynomidentitäten für Summen und Differenzen \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Zusammenfassen gleichartiger Terme und Ausklammern gemeinsamer Faktoren \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Kreuzmultiplikation von Brüchen \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) und quadratische Ergänzung \((a+b)^2+c\)

Potenzieren beider Seiten zur Eliminierung natürlicher Logarithmen

Komplexe Logarithmen \(\ln\left(a+i\,b\right)\) und die Eulersche Formel \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Grundlegende Funktionalgleichungen \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Dieser Rechner berechnet die Ableitung einer Funktion \(f\left(x\right)\) oder \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) und zeigt die verwendeten Regeln zur Berechnung der Ableitung an.

Die folgenden Regeln sind definiert:

Grundableitungen von \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Konstantenregel: \((c)'=0\)

Faktorregel: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Summenregel: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Differenzregel: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Potenzregel: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Produktregel: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Quotientenregel: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Kehrwertregel: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Kettenregel: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Betragsfunktion: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Vorzeichenfunktion: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), wobei \(\delta\) die Dirac-Deltafunktion ist

Dieser Rechner berechnet den Grenzwert einer Funktion \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) unter Verwendung der folgenden Eigenschaften:

Grenzwert einer Konstanten \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Faktorregel \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Summen- und Differenzregel \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Produktregel \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Quotientenregel \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), falls \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Grenzwert einer Exponentialfunktion \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Wichtige Grenzwerte \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) und \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Einschließungssatz: falls \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) und \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

Regel von L'Hôpital: falls \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) und \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (oder beide Grenzwerte gleich \(\infty\)), dann \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Taylor-Reihe \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Wendet Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck, Substitutionen und die Eulersche Formel an

Berechnet sowohl beidseitige Grenzwerte \(x\to{a}\) als auch einseitige Grenzwerte \(x\to{a^+}\)

Dieser Rechner wandelt einen komplexen Ausdruck \(f(z)\) in seine algebraische Form \(z=a+i\,b\), trigonometrische Form \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) und Exponentialform \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) um unter Verwendung von:

Betrag einer komplexen Zahl: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Wurzel einer komplexen Zahl: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Potenz einer komplexen Zahl: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Rationalisieren eines Bruchs durch die konjugiert komplexe Zahl: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Komplexer Logarithmus: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Hauptwert des komplexen Logarithmus: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Trigonometrische und hyperbolische Identitäten wie \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) oder \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), und die Eulersche Formel \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Dieser Rechner wertet gegebene Matrixausdrücke mit den Matrizen \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) und \(\mathrm{C}\) aus

Die Funktionalität umfasst Matrixoperationen wie: Addition \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), Subtraktion \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), Multiplikation \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), Determinante \(\left|\mathrm{A}\right|\), Transponierte \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), Rang \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), Inverse \(\mathrm{A}^{-1}\), Skalarmultiplikation \(a\cdot\mathrm{B}\) oder Addition mit einem Skalar \(c+\mathrm{A}\)

Berechnet die Ableitung von Matrixelementen \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) oder das Integral von Matrixelementen \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Wendet mathematische Funktionen \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) elementweise auf eine Matrix an, zum Beispiel \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Wertet sowohl numerische Werte als auch Kombinationen von arithmetischen Operationen und Funktionen aus