Αριθμομηχανές βήμα προς βήμα:

Αυτή η αριθμομηχανή επιλύει \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) διαφόρων τάξεων, συμπεριλαμβανομένων:

Χωριζόμενες εξισώσεις: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Ομογενείς εξισώσεις: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Εξισώσεις της μορφής: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Διαφορικές εξισώσεις Bernoulli: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Εξισώσεις Riccati: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Πλήρεις διαφορικές εξισώσεις: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Μη πλήρεις διαφορικές εξισώσεις: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — όπου \(\mu\) είναι ο ολοκληρωτικός παράγοντας

Εξισώσεις ολικού διαφορικού: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Εξισώσεις μη λυμένες ως προς την παράγωγο: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Εξισώσεις της μορφής: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) και \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Εξισώσεις Cauchy-Euler: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Η αριθμομηχανή επιλύει επίσης συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων:

Γραμμικά ομογενή συστήματα με σταθερούς συντελεστές: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Γραμμικά μη ομογενή συστήματα με σταθερούς συντελεστές: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

Επιλύει επίσης εξισώσεις και συστήματα με αρχικές συνθήκες (προβλήματα αρχικών τιμών)

Αυτή η αριθμομηχανή επιλύει \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — αόριστα ολοκληρώματα βήμα προς βήμα χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες μεθόδους και τεχνικές:

Βασικοί τύποι ολοκλήρωσης: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Κανόνας αθροίσματος και διαφοράς: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Κανόνας σταθερού πολλαπλασιαστή: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Κανόνας αντικατάστασης (u-αντικατάσταση): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων: τριγωνομετρικές \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\), υπερβολικές \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\), μερικά κλάσματα \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Μέθοδος απροσδιόριστων συντελεστών: πολυωνυμική παραγοντοποίηση, γραμμικές-κλασματικές αρρητότητες \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), μέθοδος Ostrogradsky–Hermite \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), ολοκληρώματα με τετραγωνικές ρίζες δευτεροβάθμιων \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), άμεσες μέθοδοι \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), τριγωνομετρικές και υπερβολικές αντικαταστάσεις, αντικαταστάσεις Euler, ολοκληρώματα διωνυμικών διαφορικών \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Γινόμενα δυνάμεων \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) και υπερβολικών συναρτήσεων \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Τυπικοί τύποι ολοκλήρωσης, ολοκλήρωση με απόλυτες τιμές, ειδικές συναρτήσεις \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), αντίστροφος κανόνας αλυσίδας \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), αντικατάσταση Weierstrass (εφαπτομένη ημιγωνίου), τύπος Euler \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Εκθετικοί, λογαριθμικοί, τριγωνομετρικοί και υπερβολικοί μετασχηματισμοί

Αλγεβρικές αντικαταστάσεις και αναδιάταξη με απλοποίηση

Αυτή η αριθμομηχανή επιλύει \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — ορισμένα ολοκληρώματα υπολογίζοντας την αντιπαράγωγο και εφαρμόζοντας το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού, χρησιμοποιώντας ιδιότητες συμμετρίας για άρτιες ή περιττές συναρτήσεις σε συμμετρικά διαστήματα, και ιδιότητες περιοδικότητας

Για γενικευμένα ολοκληρώματα, η αριθμομηχανή υπολογίζει όρια στο άπειρο και πλευρικά όρια σε σημεία ασυνέχειας εντός του διαστήματος ολοκλήρωσης

Υποστηριζόμενες μαθηματικές συναρτήσεις:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

Η αριθμομηχανή επιλύει εξισώσεις της μορφής \(f\left(x\right)=0\), συμπεριλαμβανομένων:

Προσδιορισμός του πεδίου ορισμού συνάρτησης \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Γραμμικές εξισώσεις \(a\,x+b=0\)

Δευτεροβάθμιες εξισώσεις με πραγματικούς και μιγαδικούς συντελεστές \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Κυβικές εξισώσεις της μορφής \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Κυβικές εξισώσεις \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Τεταρτοβάθμιες εξισώσεις της μορφής \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) και \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Γινόμενα τεσσάρων όρων σε αριθμητική πρόοδο \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Διάφορες εκθετικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές, υπερβολικές και αντίστροφες εξισώσεις

Εφαρμογή της μεθόδου Ferrari για την επίλυση τεταρτοβάθμιων εξισώσεων \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Εύρεση ρητών ριζών \(x=\dfrac{m}{n}\) και παραγοντοποίηση \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Γνωστές λύσεις βασικών τριγωνομετρικών, υπερβολικών και αντίστροφων εξισώσεων

Εύρεση ριζών μιγαδικών αριθμών \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Αντικατάσταση με εφαπτομένη ημιγωνίας \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) και \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) όπου \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Το διωνυμικό θεώρημα \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Πολυωνυμικές ταυτότητες για αθροίσματα και διαφορές \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Συνδυασμός ομοίων όρων και παραγοντοποίηση κοινών παραγόντων \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Σταυρωτός πολλαπλασιασμός κλασμάτων \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) και συμπλήρωση τετραγώνου \((a+b)^2+c\)

Ύψωση σε δύναμη και των δύο μελών για την απαλοιφή φυσικών λογαρίθμων

Μιγαδικοί λογάριθμοι \(\ln\left(a+i\,b\right)\) και τύπος του Euler \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Βασικές συναρτησιακές εξισώσεις \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Αυτή η αριθμομηχανή υπολογίζει την παράγωγο μιας συνάρτησης \(f\left(x\right)\) ή \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) και εμφανίζει τους κανόνες που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της παραγώγου.

Ορίζονται οι ακόλουθοι κανόνες:

Βασικές παράγωγοι των \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Κανόνας σταθεράς: \((c)'=0\)

Κανόνας πολλαπλασιασμού με σταθερά: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Κανόνας αθροίσματος: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Κανόνας διαφοράς: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Κανόνας δύναμης: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Κανόνας γινομένου: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Κανόνας πηλίκου: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Κανόνας αντιστρόφου: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Κανόνας αλυσίδας: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Απόλυτη τιμή: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Συνάρτηση προσήμου: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), όπου \(\delta\) είναι η συνάρτηση δέλτα του Dirac

Αυτή η αριθμομηχανή υπολογίζει το όριο μιας συνάρτησης \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες ιδιότητες:

Όριο σταθεράς \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Κανόνας πολλαπλασιασμού με σταθερά \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Κανόνας αθροίσματος και διαφοράς \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Κανόνας γινομένου \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Κανόνας πηλίκου \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), αν \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Όριο εκθετικής συνάρτησης \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Βασικά όρια \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) και \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Θεώρημα παρεμβολής: αν \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) και \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

Κανόνας L'Hôpital: αν \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) και \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (ή και τα δύο όρια ίσα με \(\infty\)), τότε \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Σειρά Taylor \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Εφαρμόζει πολλαπλασιασμό με τη συζυγή, αντικαταστάσεις και τον τύπο του Euler

Υπολογίζει τόσο αμφίπλευρα όρια \(x\to{a}\) όσο και μονόπλευρα όρια \(x\to{a^+}\)

Αυτή η αριθμομηχανή μετατρέπει μια μιγαδική έκφραση \(f(z)\) στην αλγεβρική της μορφή \(z=a+i\,b\), τριγωνομετρική μορφή \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) και εκθετική μορφή \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) χρησιμοποιώντας:

Μέτρο μιγαδικού αριθμού: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Ρίζα μιγαδικού αριθμού: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Δύναμη μιγαδικού αριθμού: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Εξορθολογισμός κλάσματος με τον συζυγή του: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Μιγαδικός λογάριθμος: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Κύρια τιμή του μιγαδικού λογαρίθμου: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Τριγωνομετρικές και υπερβολικές ταυτότητες όπως \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) ή \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), και ο τύπος του Euler \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Αυτή η αριθμομηχανή υπολογίζει δοσμένες εκφράσεις πινάκων με τους πίνακες \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) και \(\mathrm{C}\)

Η λειτουργικότητά της περιλαμβάνει πράξεις πινάκων όπως: πρόσθεση \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), αφαίρεση \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), πολλαπλασιασμό \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), ορίζουσα \(\left|\mathrm{A}\right|\), ανάστροφο \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), τάξη \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), αντίστροφο \(\mathrm{A}^{-1}\), βαθμωτό πολλαπλασιασμό \(a\cdot\mathrm{B}\) ή πρόσθεση με βαθμωτό \(c+\mathrm{A}\)

Υπολογίζει την παράγωγο των στοιχείων πίνακα \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) ή το ολοκλήρωμα των στοιχείων πίνακα \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Εφαρμόζει μαθηματικές συναρτήσεις \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) σε κάθε στοιχείο πίνακα ξεχωριστά, για παράδειγμα \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Υπολογίζει τόσο αριθμητικές τιμές όσο και συνδυασμούς αριθμητικών πράξεων και συναρτήσεων