Калкулатор за интеграли: Решаване на определени и неопределени интеграли (первообразни)

Калкулатор за интеграли за решаване на интеграли със стъпка по стъпка решения, интерактивни графики, ръчен избор на стъпки, сканиране на интеграли от снимки или камера. Използва: таблица на интеграли, u-подмяна, интегриране по части, разлагане на частични дроби, тригонометрични, хиперболични и логаритмични формули, делене на полиноми, подмяна на Ойлер, интеграли на биномни диференциали, подмяна на Вайерщрас, метод на Остроградски. За определени интеграли, включително несобствени, калкулаторът прилага Основната теорема на анализа.

Интегрирай по

Горна граница			+∞
Долна граница			-∞

Зареждане на съдържанието

Копирай връзка към това решение

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Проверка чрез диференциране на примитивната функция

Начален интеграл

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Примитивна функция

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Решение стъпка по стъпка

Изчисляване

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Разлагане на знаменателя на множители

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Метод на неопределените коефициенти

Разлагаме рационалната функция на елементарни дроби

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

Привеждаме събираемите в дясната страна към общ знаменател

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

Приравняваме коефициентите пред

x^{n}

в числителите от двете страни

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

Заместваме коефициентите в разложението на елементарни дроби

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Пренаписване

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Линейност

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Изчисляване

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Пренаписваме интеграла, използвайки

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Изчисляване

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Субституция

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Табличен интеграл

ln (u)

Обратна субституция

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Изчисляване

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Допълване до пълен квадрат

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Субституция

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Субституция

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Изнасяме общия множител

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Табличен интеграл

- \frac{1}{3} \cdot arctg (t) = - \frac{arctg ( t )}{3}

Обратна субституция

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctg ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Обратна субституция

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Изчисляване

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Внасяне под диференциала

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Табличен интеграл

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Изчисляване

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Субституция

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Интеграл от степенна функция

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

където

n = - 2

- \frac{1}{u}

Обратна субституция

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Изчисляване

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Внасяне под диференциала

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Табличен интеграл

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

d x

Добави тази страница в отметки — CTRL+D

Задайте въпрос на AI