Integralrechner - Löst bestimmte und unbestimmte Integrale (Stammfunktionen)

Der Rechner integriert Funktionen mithilfe verschiedener Methoden: Grundintegrale, Substitution, partielle Integration, Partialbruchzerlegung, trigonometrische, hyperbolische, logarithmische Identitäten und Formeln, Eigenschaften von Wurzeln, Eulersche Substitution, Integrale bekannter Formen, Weierstraß-Substitution und die Methode von Ostrogradsky. Um ein bestimmtes Integral zu lösen, wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet

Integrieren bezüglich

Obergrenze			+∞
Untergrenze			-∞

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Überprüfen durch Ableiten der Stammfunktion

Ursprüngliches Integral

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Stammfunktion

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Schritt-für-Schritt-Lösung

Berechnung

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Faktorisieren des Nenners

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Partialbruchzerlegung

Zerlegen der rationalen Funktion in Partialbrüche

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

Erweitern der Terme auf der rechten Seite auf einen gemeinsamen Nenner

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

Koeffizientenvergleich der

x^{n}

-Terme in den Zählern beider Seiten

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

Einsetzen der Koeffizienten in die Partialbruchzerlegung

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Umformen

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Linearität

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Berechnung

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Umschreiben des Integrals mit

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Berechnung

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Substitution

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Standardintegral

ln (u)

Rücksubstitution

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Berechnung

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Quadratische Ergänzung

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Substitution

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Substitution

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Ausklammern des gemeinsamen Faktors

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Standardintegral

- \frac{1}{3} \cdot arctan (t) = - \frac{arctan ( t )}{3}

Rücksubstitution

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctan ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Rücksubstitution

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Berechnung

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Anpassen des Differentials

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Standardintegral

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Berechnung

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Substitution

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Potenzregel für Integration

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

wobei

n = - 2

- \frac{1}{u}

Rücksubstitution

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Berechnung

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Anpassen des Differentials

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Standardintegral

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

arctan (x)

d x

C

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