Υπολογιστής Ολοκληρωμάτων: Υπολογισμός Ορισμένων και Αόριστων Ολοκληρωμάτων (αντιπαραγώγων)

Υπολογιστής ολοκληρωμάτων για την επίλυση ολοκληρωμάτων με λύσεις βήμα-βήμα, διαδραστικά γραφήματα, χειροκίνητη επιλογή βημάτων, σάρωση ολοκληρωμάτων από φωτογραφίες ή κάμερα. Χρησιμοποιεί: πίνακα ολοκληρωμάτων, αντικατάσταση u, ολοκλήρωση κατά μέρη, αποσύνθεση σε μερικά κλάσματα, τριγωνομετρικές, υπερβολικές και λογαριθμικές φόρμουλες, διαίρεση πολυωνύμων, αντικατάσταση Euler, ολοκληρώματα διωνυμικών διαφορικών, αντικατάσταση Weierstrass και μέθοδο Ostrogradsky. Για ορισμένα ολοκληρώματα, συμπεριλαμβανομένων των μη κανονικών, ο υπολογιστής εφαρμόζει το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού.

Ολοκλήρωση ως προς

Άνω όριο			+∞
Κάτω όριο			-∞

Φόρτωση περιεχομένου

Η εισαγωγή αναγνωρίζει διάφορα συνώνυμα για συναρτήσεις όπωςasin, arsin, arcsin, sin^-1

Τα σύμβολα πολλαπλασιασμού και οι παρενθέσεις προστίθενται αυτόματα, για παράδειγμα2sinxγίνεται2*sin(x)

Λίστα υποστηριζόμενων συναρτήσεων και σταθερών:

•ln(x) — φυσικός λογάριθμος

•sin(x) — ημίτονο

•cos(x) — συνημίτονο

•tan(x) — εφαπτομένη

•cot(x) — συνεφαπτομένη

•arcsin(x) — τοξοημίτονο

•arccos(x) — τοξοσυνημίτονο

•arctan(x) — τοξοεφαπτομένη

•arccot(x) — τοξοσυνεφαπτομένη

•sinh(x) — υπερβολικό ημίτονο

•cosh(x) — υπερβολικό συνημίτονο

•tanh(x) — υπερβολική εφαπτομένη

•coth(x) — υπερβολική συνεφαπτομένη

•sech(x) — υπερβολική τέμνουσα

•csch(x) — υπερβολική συντέμνουσα

•arsinh(x) — αντίστροφο υπερβολικό ημίτονο

•arcosh(x) — αντίστροφο υπερβολικό συνημίτονο

•artanh(x) — αντίστροφη υπερβολική εφαπτομένη

•arcoth(x) — αντίστροφη υπερβολική συνεφαπτομένη

•sec(x) — τέμνουσα

•csc(x) — συντέμνουσα

•arcsec(x) — αντίστροφη τέμνουσα

•arccsc(x) — αντίστροφη συντέμνουσα

•arsech(x) — αντίστροφη υπερβολική τέμνουσα

•arcsch(x) — αντίστροφη υπερβολική συντέμνουσα

•|x|, abs(x) — απόλυτη τιμή

•sqrt(x), root(x) — τετραγωνική ρίζα

•exp(x) —

•a+b —

•a-b —

•a*b —

•a/b —

•a^b, a**b —

•sqrt7(x) —

•sqrt(n,x) —

•lg(x) —

•log3(x) —

•log(a,x) —

•ln^2(x), ln(x)^2 —

•pi —

alpha —

beta —

•sigma —

gamma —

nu —

•mu —

phi —

psi —

•tau —

eta —

rho —

•a123 —

x_n —

mu11 —

Αντιγραφή συνδέσμου προς αυτήν τη λύση

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Επαλήθευση με παραγώγιση της αντιπαραγώγου

Αρχικό ολοκλήρωμα

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Αντιπαράγωγος

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Βήμα προς βήμα λύση

Υπολογισμός

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Παραγοντοποίηση του παρονομαστή

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Ανάλυση σε απλά κλάσματα

Ανάλυση της ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσματα

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

Αναγωγή των όρων του δεξιού μέλους σε κοινό παρονομαστή

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

Εξίσωση συντελεστών των όρων

x^{n}

στους αριθμητές και των δύο μελών

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

Αντικατάσταση των συντελεστών στην ανάλυση σε απλά κλάσματα

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Μετασχηματισμός

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Γραμμικότητα

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Υπολογισμός

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Μετασχηματισμός του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Υπολογισμός

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Αντικατάσταση

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Βασικό ολοκλήρωμα

ln (u)

Αντικατάσταση προς τα πίσω

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Υπολογισμός

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Συμπλήρωση τετραγώνου

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Αντικατάσταση

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Αντικατάσταση

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Απομόνωση κοινού παράγοντα

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Βασικό ολοκλήρωμα

- \frac{1}{3} \cdot arctan (t) = - \frac{arctan ( t )}{3}

Αντικατάσταση προς τα πίσω

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctan ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Αντικατάσταση προς τα πίσω

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Υπολογισμός

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Προσαρμογή του διαφορικού

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Βασικό ολοκλήρωμα

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Υπολογισμός

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Αντικατάσταση

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Κανόνας δύναμης για ολοκλήρωση

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

όπου

n = - 2

- \frac{1}{u}

Αντικατάσταση προς τα πίσω

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Υπολογισμός

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Προσαρμογή του διαφορικού

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Βασικό ολοκλήρωμα

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

arctan (x)

Προσθήκη σελιδοδείκτη σε αυτήν τη σελίδα — CTRL+D