Integraali kalkulaator: lahenda määratud ja määramata integraalid (algfunktsioonid)

Integraalikalkulaator integraalide lahendamiseks samm-sammult lahendustega, interaktiivsete graafikutega, käsitsi sammu valikuga, integraalide skaneerimisega fotolt või kaamerast. Kasutab: integraalide tabelit, u-asendust, osade integreerimist, osamurdlahutust, trigonomeetrilisi, hüperboolseid ja logaritmilisi valemeid, polünoomide jagamist, Euleri asendust, binoomdiferentsiaalide integraale, Weierstrassi asendust ja Ostrogradski meetodit. Määratud integraalide, sh ebakorrektsete, puhul rakendab integraalarvutuse põhiteoreemi.

Integreeri suhtes

Ülemine piir			+∞
Alumine piir			-∞

Sisu laadimine

Kopeeri selle lahenduse link

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Kontrolli algfunktsiooni diferentseerimise teel

Algne integraal

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Algfunktsioon

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Samm-sammuline lahendus

Arvutamine

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Nimetaja tegurdamine

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Osurdudeks lahutamine

Ratsionaalfunktsiooni osurdudeks lahutamine

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

Parema poole liikmete taandamine ühisele nimetajale

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

x^{n}

liikmete kordajate võrdsustamine mõlema poole lugejates

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

Kordajate asendamine osurdude lahutuses

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Teisendamine

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Lineaarsus

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Arvutamine

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Integraali ümberkirjutamine kasutades

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Arvutamine

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Asendus

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Standardintegraal

ln (u)

Tagasiasendus

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Arvutamine

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Täisruudu eraldamine

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Asendus

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Asendus

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Ühise teguri väljatoomine

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Standardintegraal

- \frac{1}{3} \cdot arctan (t) = - \frac{arctan ( t )}{3}

Tagasiasendus

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctan ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Tagasiasendus

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Arvutamine

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Diferentsiaali kohandamine

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Standardintegraal

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Arvutamine

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Asendus

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Astmereegel integreerimisel

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

kus

n = - 2

- \frac{1}{u}

Tagasiasendus

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Arvutamine

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Diferentsiaali kohandamine

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Standardintegraal

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

arctan (x)

d x

Lisa see leht järjehoidjatesse — CTRL+D