Kalkulator ng Integral: Lutasin ang Tiyak at Di-tiyak na mga Integral (antideribatibo)

Kalkulator ng integral para lutasin ang mga integral na may hakbang-hakbang na solusyon, interaktibong grap, manwal na pagpili ng hakbang, pag-scan ng mga integral mula sa litrato o kamera. Ginagamit nito: talahanayan ng mga integral, substitusyon ng u, integrasyon sa pamamagitan ng mga bahagi, dekomposisyon ng parsyal na praksyon, mga pormula ng trigonometrik, hiperbolik, at logaritmik, dibisyon ng polinomial, substitusyon ni Euler, mga integral ng binomial na diferensyal, substitusyon ni Weierstrass, at paraan ni Ostrogradsky. Para sa tiyak na integral, kabilang ang hindi wastong mga ito, inilalapat ng kalkulator ang Pangunahing Teorema ng Kalkulo.

Integrahin ayon sa

Itaas na limitasyon			+∞
Ibabang limitasyon			-∞

Naglo-load ng nilalaman

Kopyahin ang link sa solusyon na ito

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

I-verify sa pamamagitan ng pagdi-differentiate ng antiderivative

Orihinal na integral

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Antiderivative

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Hakbang-hakbang na solusyon

Kinakalkula

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Pag-factor ng denominator

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Partial fraction decomposition

Paghahati ng rational function sa partial fractions

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

Pagsasama ng mga term sa kanang bahagi sa common denominator

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

Paghahambing ng mga coefficient ng

x^{n}

terms sa mga numerator sa magkabilang panig

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

Pagpapalit ng mga coefficient sa partial fraction decomposition

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Pagsusulat muli

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Linearity

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Kinakalkula

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Pagsusulat muli ng integral gamit ang

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Kinakalkula

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Substitusyon

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Standard na integral

ln (u)

Back-substitution

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Kinakalkula

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Pagkumpleto ng parisukat

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Substitusyon

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Substitusyon

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Pag-factor ng common factor

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Standard na integral

- \frac{1}{3} \cdot arctan (t) = - \frac{arctan ( t )}{3}

Back-substitution

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctan ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Back-substitution

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Kinakalkula

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Pag-aayos ng differential

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Standard na integral

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Kinakalkula

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Substitusyon

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Power rule para sa integrasyon

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

kung saan

n = - 2

- \frac{1}{u}

Back-substitution

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Kinakalkula

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Pag-aayos ng differential

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Standard na integral

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

I-bookmark ang pahinang ito — CTRL+D

Magtanong sa AI