מחשבון אינטגרלים — חישוב אינטגרלים מוגדרים ולא מוגדרים (אנטי-נגזרות)

מחשבון אינטגרלים לפתרון אינטגרלים עם פתרונות צעד אחר צעד, גרפים אינטראקטיביים, בחירת צעדים ידנית, סריקת אינטגרלים מתמונות או מצלמה. הוא משתמש ב: טבלת אינטגרלים, החלפת u, אינטגרציה בחלקים, פירוק לשברים חלקיים, נוסחאות טריגונומטריות, היפרבוליות ולוגריתמיות, חלוקת פולינומים, החלפת אוילר, אינטגרלים של דיפרנציאלים בינומיים, החלפת ויירשטראס ושיטת אוסטרוגרדסקי. עבור אינטגרלים מסוימים, כולל לא תקינים, המחשבון מיישם את משפט היסוד של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

שלב ביחס ל

גבול עליון			+∞
גבול תחתון			-∞

טוען תוכן

העתק קישור לפתרון זה

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

אמת על ידי גזירת הפונקציה הקדומה

האינטגרל המקורי

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

פונקציה קדומה

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

פתרון שלב אחר שלב

מחשב

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

פירוק המכנה לגורמים

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

פירוק לשברים חלקיים

פירוק הפונקציה הרציונלית לשברים חלקיים

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

העברת האיברים באגף ימין למכנה משותף

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

השוואת מקדמי איברי

x^{n}

במונים בשני האגפים

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

הצבת המקדמים בפירוק לשברים חלקיים

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

כתיבה מחדש

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

ליניאריות

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

מחשב

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

כתיבה מחדש של האינטגרל באמצעות

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

מחשב

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

הצבה

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

אינטגרל סטנדרטי

ln (u)

הצבה חוזרת

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

מחשב

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

השלמה לריבוע

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

הצבה

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

הצבה

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

הוצאת גורם משותף

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

אינטגרל סטנדרטי

- \frac{1}{3} \cdot arctan (t) = - \frac{arctan ( t )}{3}

הצבה חוזרת

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctan ( \frac{2 v}{3} )}{3}

הצבה חוזרת

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

מחשב

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

התאמת הדיפרנציאל

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

אינטגרל סטנדרטי

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

מחשב

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

הצבה

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

כלל החזקה לאינטגרציה

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

כאשר

n = - 2

- \frac{1}{u}

הצבה חוזרת

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

מחשב

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

התאמת הדיפרנציאל

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

אינטגרל סטנדרטי

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

arctan (x)

d x

סמן עמוד זה — CTRL+D

שאל את ה-AI שאלה