Integrāļu kalkulators — noteiktu un nenoteiktu integrāļu (primitīvo funkciju) aprēķins

Integrāļu kalkulators integrāļu risināšanai ar soli pa solim risinājumiem, interaktīviem grafikiem, manuālu soļu izvēli, integrāļu skenēšanu no fotoattēliem vai kameras. Tas izmanto: integrāļu tabulu, u-aizvietojumu, integrēšanu pa daļām, daļēju daļu sadalījumu, trigonometriskās, hiperboliskās un logaritmiskās formulas, polinomu dalīšanu, Eilera aizvietojumu, binomiālo diferenciāļu integrāļus, Veierštrasa aizvietojumu un Ostrogradska metodi. Noteiktiem integrāļiem, ieskaitot neīstos, kalkulators pielieto integrālrēķina pamatteorēmu.

Integrēt attiecībā uz

Augšējā robeža			+∞
Apakšējā robeža			-∞

Satura ielāde

Kopēt saiti uz šo risinājumu

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Pārbaudīt, diferencējot primitīvo funkciju

Sākotnējais integrālis

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Primitīvā funkcija

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Soli pa solim risinājums

Aprēķina

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Saucēja sadalīšana reizinātājos

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Daļskaitļu sadalīšana parciālās daļās

Racionālās funkcijas sadalīšana parciālās daļās

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

Labās puses locekļu reducēšana uz kopīgo saucēju

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

Koeficientu pielīdzināšana pie

x^{n}

locekļiem skaitītājos abās pusēs

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

Koeficientu ievietošana parciālo daļu sadalījumā

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Pārrakstīšana

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Linearitāte

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Aprēķina

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Integrāļa pārrakstīšana, izmantojot

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Aprēķina

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Substitūcija

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Standarta integrālis

ln (u)

Atpakaļsubstitūcija

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Aprēķina

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Pilnā kvadrāta izdalīšana

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Substitūcija

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Substitūcija

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Kopīgā reizinātāja iznešana

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Standarta integrālis

- \frac{1}{3} \cdot arctg (t) = - \frac{arctg ( t )}{3}

Atpakaļsubstitūcija

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctg ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Atpakaļsubstitūcija

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Aprēķina

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Diferenciāļa pielāgošana

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Standarta integrālis

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Aprēķina

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Substitūcija

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Pakāpes likums integrēšanai

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

kur

n = - 2

- \frac{1}{u}

Atpakaļsubstitūcija

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Aprēķina

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Diferenciāļa pielāgošana

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Standarta integrālis

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

arctg (x)

Pievienot šo lapu grāmatzīmēm — CTRL+D

Uzdodiet jautājumu AI