Kalkulator Integral — Selesaikan Integral Tentu dan Tak Tentu (antiturunan)

Kalkulator kamiran untuk menyelesaikan kamiran dengan penyelesaian langkah demi langkah, graf interaktif, pemilihan langkah manual, imbas kamiran dari foto atau kamera. Ia menggunakan: jadual kamiran, penggantian u, kamiran mengikut bahagian, penguraian pecahan separa, formula trigonometri, hiperbolik dan logaritma, pembahagian polinomial, penggantian Euler, kamiran pembeza binomial, penggantian Weierstrass, dan kaedah Ostrogradsky. Untuk kamiran tentu, termasuk yang tidak wajar, kalkulator ini menggunakan Teorem Asas Kalkulus.

Mengamirkan terhadap

Had atas			+∞
Had bawah			-∞

Memuatkan kandungan

Salin pautan ke penyelesaian ini

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Sahkan dengan membezakan antiterbitan

Kamiran asal

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Antiterbitan

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arktan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Penyelesaian langkah demi langkah

Mengira

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Memfaktorkan penyebut

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Penguraian pecahan separa

Menguraikan fungsi nisbah kepada pecahan separa

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

Menyamakan sebutan di sebelah kanan kepada penyebut sepunya

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

Menyamakan pekali sebutan

x^{n}

dalam pengangka di kedua-dua belah

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

Menggantikan pekali ke dalam penguraian pecahan separa

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Menulis semula

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Kelinearan

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arktan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Mengira

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Menulis semula kamiran menggunakan

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arktan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Mengira

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Penggantian

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Kamiran piawai

ln (u)

Penggantian balik

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Mengira

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Melengkapkan kuasa dua

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Penggantian

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Penggantian

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Mengeluarkan faktor sepunya

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Kamiran piawai

- \frac{1}{3} \cdot arktan (t) = - \frac{arktan ( t )}{3}

Penggantian balik

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arktan ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Penggantian balik

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arktan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Mengira

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Melaraskan pembeza

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Kamiran piawai

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Mengira

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Penggantian

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Petua kuasa untuk pengamiran

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

dengan

n = - 2

- \frac{1}{u}

Penggantian balik

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Mengira

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Melaraskan pembeza

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Kamiran piawai

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

Penanda buku halaman ini — CTRL+D

Tanya soalan kepada AI