Integralen Rekenmachine - Los Bepaalde en Onbepaalde Integralen (antiderivaten) op

Rekenmachine integreert functies met behulp van verschillende methoden: algemene integralen, substitutie, integratie door delen, gedeeltelijke breukontbinding, trigonometrische, hyperbolische, logaritmische identiteiten en formules, eigenschappen van radicalen, Euler-substitutie, integralen van bekende vormen, substitutie van halve hoektangens en de methode van Ostrogradsky. Om een bepaalde integraal op te lossen wordt de hoofdstelling van de integraalrekening toegepast

Integreren met betrekking tot

Bovengrens			+∞
Ondergrens			-∞

Inhoud laden

Link naar deze oplossing kopiëren

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Controleer door de primitieve te differentiëren

Oorspronkelijke integraal

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Primitieve

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Stapsgewijze oplossing

Berekenen

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Ontbinden van de noemer

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Partiële breuksplitsing

Ontbinden van de rationale functie in partiële breuken

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

De termen aan de rechterzijde op gemeenschappelijke noemer brengen

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

Gelijkstellen van coëfficiënten van

x^{n}

-termen in de tellers aan beide zijden

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

Substitutie van de coëfficiënten in de partiële breuksplitsing

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Herschrijven

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Lineariteit

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Berekenen

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Herschrijven van de integraal met

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Berekenen

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Substitutie

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Standaardintegraal

ln (u)

Terugsubstitutie

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Berekenen

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Kwadraatafsplitsing

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Substitutie

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Substitutie

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Standaardintegraal

- \frac{1}{3} \cdot arctan (t) = - \frac{arctan ( t )}{3}

Terugsubstitutie

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctan ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Terugsubstitutie

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Berekenen

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Aanpassen van de differentiaal

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Standaardintegraal

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Berekenen

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Substitutie

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Machtsregel voor integratie

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

waarbij

n = - 2

- \frac{1}{u}

Terugsubstitutie

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Berekenen

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Aanpassen van de differentiaal

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Standaardintegraal

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

arctan (x)

d x

Deze pagina aan bladwijzers toevoegen — CTRL+D

Stel een vraag aan AI