Kalkulačka integrálov — Riešenie určitých a neurčitých integrálov (prvotných funkcií)

Kalkulačka integrálov na riešenie integrálov s riešeniami krok za krokom, interaktívnymi grafmi, manuálnym výberom krokov, skenovaním integrálov z fotografií alebo kamery. Používa: tabuľku integrálov, substitúciu u, integráciu po častiach, rozklad na parciálne zlomky, trigonometrické, hyperbolické a logaritmické vzorce, delenie polynómov, Eulerovu substitúciu, integrály binomických diferenciálov, Weierstrassovu substitúciu a Ostrogradského metódu. Pre určité integrály, vrátane nevlastných, aplikuje základnú vetu integrálneho počtu.

Integrovať podľa

Horná medza			+∞
Dolná medza			-∞

Načítava sa obsah

Kopírovať odkaz na toto riešenie

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Overiť derivovaním primitívnej funkcie

Pôvodný integrál

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Primitívna funkcia

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Postup riešenia krok za krokom

Výpočet

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Rozklad menovateľa na súčin

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Metóda neurčitých koeficientov

Rozložíme racionálnu funkciu na parciálne zlomky

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

Prevedieme členy na pravej strane na spoločného menovateľa

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

Porovnáme koeficienty členov

x^{n}

v čitateľoch na oboch stranách

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

Dosadíme koeficienty do rozkladu na parciálne zlomky

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Prepíšeme

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Linearita

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Výpočet

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Prepíšeme integrál pomocou

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Výpočet

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Substitúcia

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Tabuľkový integrál

ln (u)

Vrátiť substitúciu

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Výpočet

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Doplnenie na úplný štvorec

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Substitúcia

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Substitúcia

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Vytknutie spoločného činiteľa

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Tabuľkový integrál

- \frac{1}{3} \cdot arctan (t) = - \frac{arctan ( t )}{3}

Vrátiť substitúciu

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctan ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Vrátiť substitúciu

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Výpočet

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Vnesenie pod diferenciál

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Tabuľkový integrál

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Výpočet

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Substitúcia

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Integrál mocninovej funkcie

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

kde

n = - 2

- \frac{1}{u}

Vrátiť substitúciu

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Výpočet

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Vnesenie pod diferenciál

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Tabuľkový integrál

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

arctan (x)

Pridať túto stránku do záložiek — CTRL+D

Spýtajte sa AI