ステップバイステップの計算機：

この計算機は \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — 様々な階数の常微分方程式（ODE）を解きます。以下の種類を含みます：

変数分離形方程式：\(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

同次方程式：\(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

1階線形方程式：\(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

次の形の方程式：\(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

ベルヌーイの微分方程式：\(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

リッカチ方程式：\(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

完全微分方程式：\(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

非完全微分方程式：\(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — ここで \(\mu\) は積分因子

全微分方程式：\(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

導関数について解かれていない方程式：\(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

次の形の方程式：\(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) および \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

定数係数線形微分方程式：\(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

コーシー・オイラー方程式：\(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

この計算機は常微分方程式の連立方程式も解きます：

定数係数線形同次連立方程式：\(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

定数係数線形非同次連立方程式：\(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

また、初期条件付きの方程式および連立方程式（初期値問題）も解きます

この計算機は \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — 不定積分を以下の方法とテクニックを用いてステップごとに解きます：

基本積分公式: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

和と差の法則: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

定数倍の法則: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

置換積分法（u置換）: \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

有理関数の積分: 三角関数 \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); 双曲線関数 \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); 部分分数分解 \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

未定係数法: 多項式の因数分解、一次分数無理式 \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\)、オストログラツキー・エルミート法 \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\)、二次式の平方根を含む積分 \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\)、直接法 \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

部分積分法 \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\)、三角関数および双曲線関数置換、オイラー置換、二項微分の積分 \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

\(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) のべき乗の積および双曲線関数 \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

標準積分公式、絶対値を含む積分、特殊関数 \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\)、逆連鎖律 \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\)、ワイエルシュトラス置換（半角の正接）、オイラーの公式 \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

指数関数、対数関数、三角関数、および双曲線関数の変換

代数的置換と簡略化を伴う再グループ化

この計算機は \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — 定積分を原始関数を計算し微積分学の基本定理を適用して解きます。また、対称区間における偶関数・奇関数の対称性、および周期性を利用します

広義積分については、無限大での極限および積分区間内の不連続点での片側極限を評価します

対応する数学関数:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

この計算機は以下を含む \(f\left(x\right)=0\) の形の方程式を解きます：

関数の定義域 \(\mathrm{dom}\left(f\right)\) の決定

一次方程式 \(a\,x+b=0\)

実数係数および複素数係数の二次方程式 \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

\(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\) の形の三次方程式

三次方程式 \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

\(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) および \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\) の形の四次方程式

等差数列の4項の積 \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

各種指数方程式、対数方程式、三角方程式、双曲線方程式、および逆関数方程式

四次方程式 \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\) を解くためのフェラーリの方法の適用

有理根 \(x=\dfrac{m}{n}\) の探索と因数分解 \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

基本的な三角方程式、双曲線方程式、および逆関数方程式の既知の解

複素数の累乗根 \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

半角タンジェント置換 \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) および \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)、ここで \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

二項定理 \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

和と差の多項式恒等式 \(x^n+y^n\)、\(x^n-y^n\)

同類項の整理と共通因数のくくり出し \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

分数の外項内項の積 \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) および平方完成 \((a+b)^2+c\)

自然対数を消去するための両辺の指数化

複素対数 \(\ln\left(a+i\,b\right)\) およびオイラーの公式 \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

基本的な関数方程式 \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

この計算機は、関数 \(f\left(x\right)\) または \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) の導関数を計算し、導関数の計算に使用された公式を表示します。

以下の公式が定義されています：

\(x\)、\(\sin(x)\)、\(\cos(x)\)、\(\tan(x)\)、\(\cot(x)\)、\(e^x\)、\(a^x\)、\(\ln(x)\)\(\,\ldots\) の基本導関数

定数の微分：\((c)'=0\)

定数倍の法則：\(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

和の法則：\(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

差の法則：\(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

べき乗の法則：\(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

積の法則：\(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

商の法則：\(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

逆数の法則：\(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

連鎖律：\(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

絶対値：\(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

符号関数：\(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\)、ここで \(\delta\) はディラックのデルタ関数

この計算機は、以下の性質を用いて関数の極限 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) を求めます：

定数の極限 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

定数倍の法則 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

和と差の法則 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

積の法則 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

商の法則 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\)（\(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\) の場合）

指数関数の極限 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

基本的な極限 \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) および \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

はさみうちの原理：\(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) かつ \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

ロピタルの定理：\(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) かつ \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\)（または両方の極限が \(\infty\) に等しい）の場合、\(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

テイラー級数 \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

共役式による乗算、置換、およびオイラーの公式を適用します

両側極限 \(x\to{a}\) と片側極限 \(x\to{a^+}\) の両方を評価します

この計算機は、複素数式 \(f(z)\) を代数形式 \(z=a+i\,b\)、三角関数形式 \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\)、指数形式 \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) に変換します。以下の公式を使用します：

複素数の絶対値: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

複素数の累乗根: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

複素数の累乗: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

共役複素数による分数の有理化: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

複素対数: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

複素対数の主値: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

三角関数と双曲線関数の恒等式（例：\(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) や \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\)）、およびオイラーの公式 \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

この計算機は、行列 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{C}\) を含む行列式を計算します

機能には以下の行列演算が含まれます：加算 \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\)、減算 \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\)、乗算 \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\)、行列式 \(\left|\mathrm{A}\right|\)、転置 \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\)、階数 \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\)、逆行列 \(\mathrm{A}^{-1}\)、スカラー乗算 \(a\cdot\mathrm{B}\)、またはスカラーとの加算 \(c+\mathrm{A}\)

行列要素の微分 \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) または行列要素の積分 \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\) を計算します

数学関数 \(\sin\)、\(\cos\)\(\,\ldots\) を行列の各要素に適用します。例：\(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

数値および算術演算と関数の組み合わせの両方を計算します