Сalculators MathDF dengan:

Kalkulator ini menyelesaikan \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — persamaan pembezaan biasa (ODE) pelbagai peringkat, termasuk:

Persamaan boleh asingkan: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Persamaan homogen: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Persamaan linear peringkat pertama: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Persamaan dalam bentuk: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Persamaan pembezaan Bernoulli: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Persamaan Riccati: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Persamaan pembezaan tepat: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Persamaan pembezaan tak tepat: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — dengan \(\mu\) ialah faktor pengamir

Persamaan pembezaan total: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Persamaan yang tidak diselesaikan untuk terbitan: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Persamaan dalam bentuk: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) dan \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Persamaan pembezaan linear dengan pekali malar: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Persamaan Cauchy-Euler: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Kalkulator ini juga menyelesaikan sistem persamaan pembezaan biasa:

Sistem linear homogen dengan pekali malar: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Sistem linear tak homogen dengan pekali malar: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

Ia juga menyelesaikan persamaan dan sistem dengan syarat awal (masalah nilai awal)

Kalkulator ini menyelesaikan \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — kamiran tak tentu langkah demi langkah menggunakan kaedah dan teknik berikut:

Formula kamiran asas: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Petua hasil tambah dan beza: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Petua gandaan pemalar: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Petua penggantian (penggantian-u): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Kamiran fungsi nisbah: trigonometri \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); hiperbolik \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); pecahan separa \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Kaedah pekali tak tentu: pemfaktoran polinomial, ketidakrasionalan linear-pecahan \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), kaedah Ostrogradsky–Hermite \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), kamiran melibatkan punca kuasa dua kuadratik \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), kaedah langsung \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Kamiran bahagian demi bahagian \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), penggantian trigonometri dan hiperbolik, penggantian Euler, kamiran pembezaan binomial \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Hasil darab kuasa \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) dan fungsi hiperbolik \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Formula kamiran piawai, kamiran melibatkan nilai mutlak, fungsi khas \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), petua rantai songsang \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), penggantian Weierstrass (tangen separuh sudut), formula Euler \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Penjelmaan eksponen, logaritma, trigonometri, dan hiperbolik

Penggantian algebra dan pengumpulan semula dengan penyederhanaan

Kalkulator ini menyelesaikan \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — kamiran tentu dengan mengira antiterbitan dan menggunakan Teorem Asas Kalkulus, menggunakan sifat simetri untuk fungsi genap atau ganjil pada selang simetri, dan sifat kekalaan

Untuk kamiran tak wajar, kalkulator menilai had pada ketakterhinggaan dan had satu sisi pada titik ketakselanjaran dalam selang kamiran

Fungsi matematik yang disokong:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

Kalkulator ini menyelesaikan persamaan dalam bentuk \(f\left(x\right)=0\), termasuk:

Menentukan domain fungsi \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Persamaan linear \(a\,x+b=0\)

Persamaan kuadratik dengan pekali nyata dan kompleks \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Persamaan kubik dalam bentuk \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Persamaan kubik \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Persamaan kuartik dalam bentuk \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) dan \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Hasil darab empat sebutan dalam janjang aritmetik \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Pelbagai persamaan eksponen, logaritma, trigonometri, hiperbolik, dan songsang

Menggunakan kaedah Ferrari untuk menyelesaikan persamaan kuartik \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Mencari punca nisbah \(x=\dfrac{m}{n}\) dan pemfaktoran \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Penyelesaian yang diketahui bagi persamaan trigonometri, hiperbolik, dan songsang asas

Mencari punca nombor kompleks \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Penggantian tangen separuh sudut \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) dan \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) dengan \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Teorem binomial \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Identiti polinomial untuk hasil tambah dan hasil tolak \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Menggabungkan sebutan serupa dan memfaktorkan faktor sepunya \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Pendaraban silang pecahan \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) dan melengkapkan kuasa dua \((a+b)^2+c\)

Mengeksponenkan kedua-dua belah untuk menghapuskan logaritma asli

Logaritma kompleks \(\ln\left(a+i\,b\right)\) dan formula Euler \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Persamaan fungsi asas \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Kalkulator ini mengira terbitan bagi fungsi \(f\left(x\right)\) atau \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) dan memaparkan petua yang digunakan untuk mengira terbitan.

Petua-petua berikut ditakrifkan:

Terbitan lazim bagi \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Petua pemalar: \((c)'=0\)

Petua gandaan pemalar: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Petua hasil tambah: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Petua hasil tolak: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Petua kuasa: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Petua hasil darab: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Petua hasil bahagi: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Petua salingan: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Petua rantai: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Nilai mutlak: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Fungsi tanda: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), dengan \(\delta\) ialah fungsi delta Dirac

Kalkulator ini mencari had bagi suatu fungsi \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) menggunakan sifat-sifat berikut:

Had bagi pemalar \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Petua gandaan pemalar \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Petua hasil tambah dan beza \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Petua hasil darab \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Petua hasil bahagi \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), jika \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Had bagi fungsi eksponen \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Had lazim \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) dan \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Teorem Apit: jika \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) dan \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

Petua L'Hôpital: jika \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) dan \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (atau kedua-dua had bersamaan \(\infty\)), maka \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Siri Taylor \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Menggunakan pendaraban dengan konjugat, penggantian, dan formula Euler

Menilai kedua-dua had dua sisi \(x\to{a}\) dan had satu sisi \(x\to{a^+}\)

Kalkulator ini menukar ungkapan kompleks \(f(z)\) kepada bentuk algebra \(z=a+i\,b\), bentuk trigonometri \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\), dan bentuk eksponen \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) menggunakan:

Modulus nombor kompleks: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Punca nombor kompleks: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Kuasa nombor kompleks: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Merasionalkan pecahan dengan konjugatnya: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Logaritma kompleks: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Nilai utama logaritma kompleks: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Identiti trigonometri dan hiperbolik seperti \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) atau \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), dan formula Euler \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Kalkulator ini menilai ungkapan matriks yang diberikan dengan matriks \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), dan \(\mathrm{C}\)

Fungsinya termasuk operasi matriks seperti: penambahan \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), penolakan \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), pendaraban \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), penentu \(\left|\mathrm{A}\right|\), transposs \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), pangkat \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), songsang \(\mathrm{A}^{-1}\), pendaraban skalar \(a\cdot\mathrm{B}\), atau penambahan dengan skalar \(c+\mathrm{A}\)

Mengira terbitan unsur matriks \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) atau kamiran unsur matriks \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Menggunakan fungsi matematik \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) kepada matriks secara unsur demi unsur, contohnya \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Menilai kedua-dua nilai berangka dan gabungan operasi aritmetik dan fungsi