Kalkulačky krok za krokom:

Táto kalkulačka rieši \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — obyčajné diferenciálne rovnice (ODR) rôznych rádov, vrátane:

Rovnice so separovanými premennými: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Homogénne rovnice: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Lineárne rovnice prvého rádu: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Rovnice tvaru: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Bernoulliho diferenciálne rovnice: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Riccatiho rovnice: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Exaktné diferenciálne rovnice: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Neexaktné diferenciálne rovnice: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — kde \(\mu\) je integračný faktor

Rovnice úplného diferenciálu: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Rovnice nerozriešené vzhľadom na deriváciu: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Rovnice tvaru: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) a \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Cauchyho-Eulerove rovnice: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Kalkulačka tiež rieši sústavy obyčajných diferenciálnych rovníc:

Lineárne homogénne sústavy s konštantnými koeficientmi: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Lineárne nehomogénne sústavy s konštantnými koeficientmi: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

Rieši tiež rovnice a sústavy s počiatočnými podmienkami (Cauchyho úlohy)

Táto kalkulačka rieši \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — neurčité integrály krok za krokom pomocou nasledujúcich metód a techník:

Základné integračné vzorce: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Pravidlo pre súčet a rozdiel: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Pravidlo pre konštantný násobok: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Substitučná metóda (u-substitúcia): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Integrácia racionálnych funkcií: trigonometrické \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); hyperbolické \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); parciálne zlomky \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Metóda neurčitých koeficientov: polynomická faktorizácia, lineárno-lomené iracionality \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), Ostrogradského–Hermiteova metóda \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), integrály obsahujúce odmocniny z kvadratických výrazov \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), priame metódy \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Integrácia per partes \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), trigonometrické a hyperbolické substitúcie, Eulerove substitúcie, integrály binomických diferenciálov \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Súčiny mocnín \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) a hyperbolických funkcií \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Štandardné integračné vzorce, integrácia zahŕňajúca absolútne hodnoty, špeciálne funkcie \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), pravidlo spätného reťazenia \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), Weierstrassova substitúcia (substitúcia polovičného uhla), Eulerova formula \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Exponenciálne, logaritmické, trigonometrické a hyperbolické transformácie

Algebraické substitúcie a preskupovanie so zjednodušením

Táto kalkulačka rieši \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — určité integrály výpočtom primitívnej funkcie a aplikáciou základnej vety kalkulu, využitím vlastností symetrie pre párne alebo nepárne funkcie na symetrických intervaloch a vlastností periodicity

Pre nevlastné integrály kalkulačka vyhodnocuje limity v nekonečne a jednostranné limity v bodoch nespojitosti v rámci integračného intervalu

Podporované matematické funkcie:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

Kalkulačka rieši rovnice tvaru \(f\left(x\right)=0\), vrátane:

Určenie definičného oboru funkcie \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Lineárne rovnice \(a\,x+b=0\)

Kvadratické rovnice s reálnymi a komplexnými koeficientmi \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Kubické rovnice tvaru \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Kubické rovnice \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Kvartické rovnice tvaru \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) a \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Súčiny štyroch členov v aritmetickej postupnosti \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Rôzne exponenciálne, logaritmické, goniometrické, hyperbolické a inverzné rovnice

Aplikácia Ferrariho metódy na riešenie kvartických rovníc \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Hľadanie racionálnych koreňov \(x=\dfrac{m}{n}\) a faktorizácia \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Známe riešenia základných goniometrických, hyperbolických a inverzných rovníc

Hľadanie koreňov komplexných čísel \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Substitúcia tangensom polovičného uhla \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) a \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\), kde \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Binomická veta \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Polynomické identity pre súčty a rozdiely \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Zlučovanie podobných členov a vyťahovanie spoločných faktorov \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Krížové násobenie zlomkov \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) a doplnenie na štvorec \((a+b)^2+c\)

Umocnenie oboch strán na odstránenie prirodzených logaritmov

Komplexné logaritmy \(\ln\left(a+i\,b\right)\) a Eulerova formula \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Základné funkcionálne rovnice \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Táto kalkulačka vypočíta deriváciu funkcie \(f\left(x\right)\) alebo \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) a zobrazí pravidlá použité na výpočet derivácie.

Sú definované nasledujúce pravidlá:

Bežné derivácie \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Pravidlo pre konštantu: \((c)'=0\)

Pravidlo pre násobok konštantou: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Pravidlo pre súčet: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Pravidlo pre rozdiel: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Pravidlo pre mocninu: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Pravidlo pre súčin: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Pravidlo pre podiel: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Pravidlo pre prevrátenú hodnotu: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Reťazové pravidlo: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Absolútna hodnota: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Funkcia signum: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), kde \(\delta\) je Diracova delta funkcia

Táto kalkulačka počíta limitu funkcie \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) pomocou nasledujúcich vlastností:

Limita konštanty \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Pravidlo násobenia konštantou \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Pravidlo súčtu a rozdielu \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Pravidlo súčinu \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Pravidlo podielu \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), ak \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Limita exponenciálnej funkcie \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Bežné limity \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) a \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Veta o dvoch policajtoch: ak \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) a \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

L'Hôpitalovo pravidlo: ak \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) a \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (alebo obe limity sa rovnajú \(\infty\)), potom \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Taylorov rad \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Používa násobenie združeným výrazom, substitúcie a Eulerovu formulu

Vyhodnocuje obojstranné limity \(x\to{a}\) aj jednostranné limity \(x\to{a^+}\)

Táto kalkulačka prevedie komplexný výraz \(f(z)\) na jeho algebraický tvar \(z=a+i\,b\), goniometrický tvar \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) a exponenciálny tvar \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) pomocou:

Modul komplexného čísla: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Odmocnina komplexného čísla: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Mocnina komplexného čísla: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Racionalizácia zlomku pomocou komplexne združeného čísla: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Komplexný logaritmus: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Hlavná hodnota komplexného logaritmu: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Goniometrické a hyperbolické identity ako \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) alebo \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\) a Eulerova formula \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Táto kalkulačka vyhodnocuje zadané maticové výrazy s maticami \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) a \(\mathrm{C}\)

Jej funkcionalita zahŕňa maticové operácie ako: sčítanie \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), odčítanie \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), násobenie \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), determinant \(\left|\mathrm{A}\right|\), transponovanie \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), hodnosť \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), inverzia \(\mathrm{A}^{-1}\), násobenie skalárom \(a\cdot\mathrm{B}\) alebo sčítanie so skalárom \(c+\mathrm{A}\)

Počíta deriváciu prvkov matice \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) alebo integrál prvkov matice \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Aplikuje matematické funkcie \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) na maticu po prvkoch, napríklad \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Vyhodnocuje číselné hodnoty aj kombinácie aritmetických operácií a funkcií