Калкулатори корак по корак:

Овај калкулатор решава \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — обичне диференцијалне једначине (ОДЈ) различитих редова, укључујући:

Једначине са раздвојеним променљивим: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Хомогене једначине: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Линеарне једначине првог реда: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Једначине облика: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Бернулијеве диференцијалне једначине: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Рикатијеве једначине: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Тачне диференцијалне једначине: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Нетачне диференцијалне једначине: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — где је \(\mu\) интегрирајући фактор

Једначине тоталног диференцијала: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Једначине нерешене по изводу: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Једначине облика: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) и \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Линеарне диференцијалне једначине са константним коефицијентима: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Коши-Ојлерове једначине: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Калкулатор такође решава системе обичних диференцијалних једначина:

Линеарни хомогени системи са константним коефицијентима: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Линеарни нехомогени системи са константним коефицијентима: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

Такође решава једначине и системе са почетним условима (Кошијеви проблеми)

Овај калкулатор решава \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — неодређене интеграле корак по корак користећи следеће методе и технике:

Основне формуле интеграције: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Правило збира и разлике: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Правило константног множиоца: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Правило супституције (u-супституција): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Интеграција рационалних функција: тригонометријске \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); хиперболичке \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); парцијални разломци \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Метода неодређених коефицијената: факторизација полинома, линеарно-разломљене ирационалности \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), Островски-Ермитова метода \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), интеграли са квадратним коренима квадратних функција \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), директне методе \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Парцијална интеграција \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), тригонометријске и хиперболичке супституције, Ојлерове супституције, интеграли биномних диференцијала \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Производи степена \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) и хиперболичких функција \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Стандардне формуле интеграције, интеграција са апсолутним вредностима, специјалне функције \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), обрнуто правило ланца \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), Вајерштрасова супституција (тангенс полуугла), Ојлерова формула \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Експоненцијалне, логаритамске, тригонометријске и хиперболичке трансформације

Алгебарске супституције и прегруписање са упрошћавањем

Овај калкулатор решава \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — одређене интеграле израчунавањем примитивне функције и применом основне теореме анализе, користећи својства симетрије за парне или непарне функције на симетричним интервалима, и својства периодичности

За несвојствене интеграле, калкулатор израчунава границе у бесконачности и једностране границе у тачкама прекида унутар интервала интеграције

Подржане математичке функције:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

Калкулатор решава једначине облика \(f\left(x\right)=0\), укључујући:

Одређивање домена функције \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Линеарне једначине \(a\,x+b=0\)

Квадратне једначине са реалним и комплексним коефицијентима \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Кубне једначине облика \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Кубне једначине \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Једначине четвртог степена облика \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) и \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Производи четири члана у аритметичкој прогресији \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Различите експоненцијалне, логаритамске, тригонометријске, хиперболичке и инверзне једначине

Примена Ферараијеве методе за решавање једначина четвртог степена \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Проналажење рационалних корена \(x=\dfrac{m}{n}\) и факторизација \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Позната решења основних тригонометријских, хиперболичких и инверзних једначина

Проналажење корена комплексних бројева \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Супституција тангенса половине угла \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) и \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) где је \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Биномна теорема \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Полиномски идентитети за збирове и разлике \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Сређивање сличних чланова и издвајање заједничких фактора \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Укрштено множење разломака \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) и допуњавање до потпуног квадрата \((a+b)^2+c\)

Степеновање обе стране за елиминацију природних логаритама

Комплексни логаритми \(\ln\left(a+i\,b\right)\) и Ојлерова формула \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Основне функционалне једначине \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Овај калкулатор израчунава извод функције \(f\left(x\right)\) или \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) и приказује правила коришћена за израчунавање извода.

Дефинисана су следећа правила:

Основни изводи за \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Правило за константу: \((c)'=0\)

Правило за константни множилац: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Правило за збир: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Правило за разлику: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Правило за степен: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Правило за производ: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Правило за количник: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Правило за реципрочну вредност: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Правило ланчаног извода: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Апсолутна вредност: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Функција знака: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), где је \(\delta\) Диракова делта функција

Овај калкулатор налази граничну вредност функције \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) користећи следећа својства:

Гранична вредност константе \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Правило множења константом \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Правило збира и разлике \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Правило производа \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Правило количника \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), ако је \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Гранична вредност експоненцијалне функције \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Основне граничне вредности \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) и \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Теорема о два полицајца: ако је \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) и \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

Лопиталово правило: ако је \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) и \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (или су обе граничне вредности једнаке \(\infty\)), тада је \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Тејлоров ред \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Примењује множење конјугатом, смене и Ојлерову формулу

Израчунава и двостране граничне вредности \(x\to{a}\) и једностране граничне вредности \(x\to{a^+}\)

Овај калкулатор претвара комплексни израз \(f(z)\) у његов алгебарски облик \(z=a+i\,b\), тригонометријски облик \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) и експоненцијални облик \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) користећи:

Модул комплексног броја: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Корен комплексног броја: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Степен комплексног броја: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Рационализација разломка помоћу конјугата: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Комплексни логаритам: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Главна вредност комплексног логаритма: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Тригонометријски и хиперболички идентитети као што су \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) или \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), и Ојлерова формула \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Овај калкулатор израчунава дате матричне изразе са матрицама \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) и \(\mathrm{C}\)

Његова функционалност укључује матричне операције као што су: сабирање \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), одузимање \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), множење \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), детерминанта \(\left|\mathrm{A}\right|\), транспоновање \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), ранг \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), инверзна матрица \(\mathrm{A}^{-1}\), множење скаларом \(a\cdot\mathrm{B}\) или сабирање са скаларом \(c+\mathrm{A}\)

Израчунава извод елемената матрице \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) или интеграл елемената матрице \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Примењује математичке функције \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) на матрицу елемент по елемент, на пример \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Израчунава како нумеричке вредности тако и комбинације аритметичких операција и функција