Steg-för-steg-räknare:

Denna kalkylator löser \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — ordinära differentialekvationer (ODE) av olika ordningar, inklusive:

Separabla ekvationer: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Homogena ekvationer: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Linjära ekvationer av första ordningen: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Ekvationer av formen: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Bernoullis differentialekvationer: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Riccatis ekvationer: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Exakta differentialekvationer: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Icke-exakta differentialekvationer: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — där \(\mu\) är en integrerande faktor

Totala differentialekvationer: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Ekvationer som inte är lösta för derivatan: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Ekvationer av formen: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) och \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Cauchy-Eulers ekvationer: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Kalkylatorn löser även system av ordinära differentialekvationer:

Linjära homogena system med konstanta koefficienter: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Linjära icke-homogena system med konstanta koefficienter: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

Den löser även ekvationer och system med begynnelsevillkor (begynnelsevärdesproblem)

Denna kalkylator löser \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — obestämda integraler steg för steg med följande metoder och tekniker:

Grundläggande integrationsformler: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Summa- och differensregeln: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Konstant multiplikationsregeln: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Substitutionsregeln (variabelsubstitution): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Integration av rationella funktioner: trigonometriska \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); hyperboliska \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); partialbråksuppdelning \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Metoden med obestämda koefficienter: polynomfaktorisering, linjärt-bråkiga irrationaliteter \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), Ostrogradsky–Hermites metod \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), integraler med kvadratrötter av andragradspolynom \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), direkta metoder \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Partiell integration \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), trigonometriska och hyperboliska substitutioner, Eulersubstitutioner, integraler av binomiala differentialer \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Produkter av potenser av \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) och hyperboliska funktioner \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Standardintegrationsformler, integration med absolutbelopp, specialfunktioner \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), omvänd kedjeregel \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), Weierstrass-substitution (halvvinkelsubstitution), Eulers formel \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Exponentiella, logaritmiska, trigonometriska och hyperboliska transformationer

Algebraiska substitutioner och omgruppering med förenkling

Denna kalkylator löser \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — bestämda integraler genom att beräkna primitiva funktionen och tillämpa analysens fundamentalsats, med symmetriegenskaper för jämna eller udda funktioner över symmetriska intervall, samt periodicitetsegenskaper

För generaliserade integraler beräknar kalkylatorn gränsvärden vid oändligheten och ensidiga gränsvärden vid diskontinuitetspunkter inom integrationsintervallet

Matematiska funktioner som stöds:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

Kalkylatorn löser ekvationer av formen \(f\left(x\right)=0\), inklusive:

Bestämning av definitionsmängden för en funktion \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Linjära ekvationer \(a\,x+b=0\)

Andragradsekvationer med reella och komplexa koefficienter \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Tredjegradsekvationer av formen \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Tredjegradsekvationer \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Fjärdegradsekvationer av formen \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) och \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Produkter av fyra termer i en aritmetisk följd \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Olika exponentiella, logaritmiska, trigonometriska, hyperboliska och inversa ekvationer

Tillämpning av Ferraris metod för att lösa fjärdegradsekvationer \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Hitta rationella rötter \(x=\dfrac{m}{n}\) och faktorisering \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Kända lösningar av grundläggande trigonometriska, hyperboliska och inversa ekvationer

Hitta rötter av komplexa tal \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Halvvinkeltangentsubstitution \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) och \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) där \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Binomialsatsen \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Polynomidentiteter för summor och differenser \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Förenkla liknande termer och bryta ut gemensamma faktorer \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Korstmultiplicering av bråk \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) och kvadratkomplettering \((a+b)^2+c\)

Exponentiering av båda sidor för att eliminera naturliga logaritmer

Komplexa logaritmer \(\ln\left(a+i\,b\right)\) och Eulers formel \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Grundläggande funktionalekvationer \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Denna kalkylator beräknar derivatan av en funktion \(f\left(x\right)\) eller \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) och visar de regler som används för att beräkna derivatan.

Följande regler är definierade:

Vanliga derivator av \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Konstantregeln: \((c)'=0\)

Konstant multipel-regeln: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Summaregeln: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Differensregeln: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Potensregeln: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Produktregeln: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Kvotregeln: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Inverterade regeln: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Kedjeregeln: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Absolutbelopp: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Teckenfunktion: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), där \(\delta\) är Diracs deltafunktion

Denna kalkylator beräknar gränsvärdet för en funktion \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) med hjälp av följande egenskaper:

Gränsvärde för en konstant \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Regel för konstant multipel \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Summa- och differensregel \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Produktregel \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Kvotregel \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), om \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Gränsvärde för en exponentialfunktion \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Vanliga gränsvärden \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) och \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Instängningssatsen: om \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) och \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

L'Hôpitals regel: om \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) och \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (eller båda gränsvärdena är lika med \(\infty\)), då gäller \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Taylorserie \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Tillämpar konjugatmultiplikation, substitutioner och Eulers formel

Beräknar både tvåsidiga gränsvärden \(x\to{a}\) och ensidiga gränsvärden \(x\to{a^+}\)

Denna kalkylator omvandlar ett komplext uttryck \(f(z)\) till dess algebraiska form \(z=a+i\,b\), trigonometriska form \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\), och exponentiella form \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) med hjälp av:

Beloppet av ett komplext tal: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Rot av ett komplext tal: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Potens av ett komplext tal: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Rationalisering av ett bråk med dess konjugat: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Komplex logaritm: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Huvudvärdet av den komplexa logaritmen: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Trigonometriska och hyperboliska identiteter såsom \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) eller \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), och Eulers formel \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Denna kalkylator beräknar givna matrisuttryck med matriserna \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) och \(\mathrm{C}\)

Funktionaliteten inkluderar matrisoperationer som: addition \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), subtraktion \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), multiplikation \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), determinant \(\left|\mathrm{A}\right|\), transponat \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), rang \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), invers \(\mathrm{A}^{-1}\), skalär multiplikation \(a\cdot\mathrm{B}\), eller addition med en skalär \(c+\mathrm{A}\)

Beräknar derivatan av matriselement \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) eller integralen av matriselement \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Tillämpar matematiska funktioner \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) på en matris elementvis, till exempel \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Beräknar både numeriska värden och kombinationer av aritmetiska operationer och funktioner