الآلات الحاسبة خطوة بخطوة:

تحل هذه الآلة الحاسبة \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — المعادلات التفاضلية العادية (ODEs) من مختلف الرتب، بما في ذلك:

المعادلات القابلة للفصل: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

المعادلات المتجانسة: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

المعادلات الخطية من الدرجة الأولى: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

معادلات من الشكل: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

معادلات برنولي التفاضلية: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

معادلات ريكاتي: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

المعادلات التفاضلية التامة: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

المعادلات التفاضلية غير التامة: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — حيث \(\mu\) هو العامل التكاملي

معادلات التفاضل الكلي: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

المعادلات غير المحلولة بالنسبة للمشتقة: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

معادلات من الشكل: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) و \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

معادلات كوشي-أويلر: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

تحل الآلة الحاسبة أيضاً أنظمة المعادلات التفاضلية العادية:

الأنظمة الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

الأنظمة الخطية غير المتجانسة ذات المعاملات الثابتة: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

كما تحل المعادلات والأنظمة ذات الشروط الابتدائية (مسائل القيمة الابتدائية)

تحل هذه الآلة الحاسبة \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — التكاملات غير المحدودة خطوة بخطوة باستخدام الطرق والتقنيات التالية:

صيغ التكامل الأساسية: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\)، \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

قاعدة الجمع والطرح: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

قاعدة الضرب بثابت: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

قاعدة التعويض: \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

تكامل الدوال الكسرية: المثلثية \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\)؛ الزائدية \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\)؛ الكسور الجزئية \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

طريقة المعاملات غير المحددة: تحليل كثيرات الحدود، اللاكسرية الخطية \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\)، طريقة أوستروغرادسكي-هيرميت \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\)، التكاملات المتضمنة جذور تربيعية لكثيرات حدود من الدرجة الثانية \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\)، الطرق المباشرة \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)، \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)، \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

التكامل بالتجزئة \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\)، التعويضات المثلثية والزائدية، تعويضات أويلر، تكاملات التفاضلات ذات الحدين \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

جداء قوى \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) والدوال الزائدية \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

صيغ التكامل القياسية، التكامل المتضمن القيم المطلقة، الدوال الخاصة \(\Gamma\left(s,\,x\right)\)، \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\)، \(\operatorname{li}\left(x\right)\)، \(\operatorname{Si}\left(x\right)\)، \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\)، \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\)، \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\)، \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\)، \(\operatorname{S}\left(x\right)\)، \(\operatorname{C}\left(x\right)\)، \(\operatorname{erf}\left(x\right)\)، \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\)، قاعدة السلسلة العكسية \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\)، تعويض فايرشتراس (نصف الزاوية المماسية)، صيغة أويلر \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

التحويلات الأسية واللوغاريتمية والمثلثية والزائدية

التعويضات الجبرية وإعادة التجميع مع التبسيط

تحل هذه الآلة الحاسبة \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — التكاملات المحدودة عن طريق حساب الدالة الأصلية وتطبيق النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، باستخدام خصائص التماثل للدوال الزوجية أو الفردية على الفترات المتماثلة، وخصائص الدورية

للتكاملات المعتلة، تحسب الآلة الحاسبة النهايات عند اللانهاية والنهايات من جانب واحد عند نقاط الانقطاع داخل فترة التكامل

الدوال الرياضية المدعومة:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

تحل الآلة الحاسبة المعادلات من الشكل \(f\left(x\right)=0\)، بما في ذلك:

تحديد مجال الدالة \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

المعادلات الخطية \(a\,x+b=0\)

المعادلات التربيعية ذات المعاملات الحقيقية والمركبة \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

المعادلات التكعيبية من الشكل \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

المعادلات التكعيبية \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

المعادلات من الدرجة الرابعة من الشكل \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) و \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

جداء أربعة حدود في متتالية حسابية \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

معادلات أسية ولوغاريتمية ومثلثية وزائدية وعكسية متنوعة

تطبيق طريقة فيراري لحل المعادلات من الدرجة الرابعة \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

إيجاد الجذور النسبية \(x=\dfrac{m}{n}\) والتحليل إلى عوامل \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

الحلول المعروفة للمعادلات المثلثية والزائدية والعكسية الأساسية

إيجاد جذور الأعداد المركبة \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

التعويض بظل نصف الزاوية \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) و \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) حيث \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

نظرية ذات الحدين \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

متطابقات كثيرات الحدود للمجاميع والفروق \(x^n+y^n\)، \(x^n-y^n\)

تجميع الحدود المتشابهة وإخراج العوامل المشتركة \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

الضرب التبادلي للكسور \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) وإكمال المربع \((a+b)^2+c\)

رفع الطرفين للأس للتخلص من اللوغاريتمات الطبيعية

اللوغاريتمات المركبة \(\ln\left(a+i\,b\right)\) وصيغة أويلر \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

المعادلات الدالية الأساسية \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

تحسب هذه الآلة الحاسبة مشتقة دالة \(f\left(x\right)\) أو \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) وتعرض القواعد المستخدمة لحساب المشتقة.

القواعد التالية معرّفة:

المشتقات الشائعة لـ \(x\)، \(\sin(x)\)، \(\cos(x)\)، \(\tan(x)\)، \(\cot(x)\)، \(e^x\)، \(a^x\)، \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

قاعدة الثابت: \((c)'=0\)

قاعدة الضرب بثابت: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

قاعدة الجمع: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

قاعدة الطرح: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

قاعدة القوة: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

قاعدة الضرب: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

قاعدة القسمة: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

قاعدة المقلوب: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

قاعدة السلسلة: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

القيمة المطلقة: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

دالة الإشارة: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\)، حيث \(\delta\) هي دالة دلتا ديراك

تحسب هذه الآلة الحاسبة نهاية دالة \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) باستخدام الخصائص التالية:

نهاية ثابت \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

قاعدة الضرب بثابت \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

قاعدة الجمع والطرح \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

قاعدة الضرب \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

قاعدة القسمة \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\)، إذا كان \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

نهاية دالة أسية \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

نهايات شائعة \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) و \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

مبرهنة الحصر: إذا كان \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) و \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

قاعدة لوبيتال: إذا كان \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) و \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (أو كلتا النهايتين تساوي \(\infty\))، فإن \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

متسلسلة تايلور \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

تطبق الضرب بالمرافق، والتعويضات، وصيغة أويلر

تحسب النهايات من الجانبين \(x\to{a}\) والنهايات من جانب واحد \(x\to{a^+}\)

تقوم هذه الآلة الحاسبة بتحويل تعبير مركب \(f(z)\) إلى صيغته الجبرية \(z=a+i\,b\)، والصيغة المثلثية \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\)، والصيغة الأسية \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) باستخدام:

معيار العدد المركب: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

جذر العدد المركب: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

قوة العدد المركب: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

تبسيط الكسر بضربه في المرافق: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

اللوغاريتم المركب: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

القيمة الرئيسية للوغاريتم المركب: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

المتطابقات المثلثية والزائدية مثل \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) أو \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\)، وصيغة أويلر \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

تقوم هذه الآلة الحاسبة بحساب تعبيرات المصفوفات المعطاة مع المصفوفات \(\mathrm{A}\) و\(\mathrm{B}\) و\(\mathrm{C}\)

تشمل وظائفها عمليات المصفوفات مثل: الجمع \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\)، الطرح \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\)، الضرب \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\)، المحدد \(\left|\mathrm{A}\right|\)، المنقولة \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\)، الرتبة \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\)، المعكوسة \(\mathrm{A}^{-1}\)، الضرب بعدد قياسي \(a\cdot\mathrm{B}\)، أو الجمع مع عدد قياسي \(c+\mathrm{A}\)

تحسب مشتقة عناصر المصفوفة \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) أو تكامل عناصر المصفوفة \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

تطبق الدوال الرياضية \(\sin\)، \(\cos\)\(\,\ldots\) على عناصر المصفوفة بشكل فردي، على سبيل المثال \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

تحسب القيم العددية ومجموعات العمليات الحسابية والدوال