Calculadoras paso a paso:
Calculadora resuelve \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de diferentes órdenes, a saber:
Ecuaciones separables: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)
Ecuaciones homogéneas: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)
Llevando a homogéneo, sustitución \(y=z^{\lambda}\)
Ecuaciones lineales de primer orden: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)
Ecuaciones de la forma: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)
Ecuación diferencial de Bernoulli: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)
Ecuación diferencial de Riccati: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)
Ecuación con diferencial total: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)
Encontrar un factor integrador: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — dónde \(\mu=\mu\left(x\right)\), \(\mu=\mu\left(y\right)\) o \(\mu=\mu\left(z\left(x,\,y\right)\right)\)
Agrupación bajo diferencial \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)
Ecuaciones no resueltas con respecto a la derivada: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\) — método de introducción de parámetros \(p\,\); calcular el diferencial total; sustitución \(\mathrm{d}y=p\,\mathrm{d}x\); decisión sobre \(y'\)
Ecuaciones que permiten la reducción del orden — sustitución \(y^{\left(k\right)}=z\) para ecuaciones de forma \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\); sustitución \(y'=p\left(y\right)\) para \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\); ecuación homogénea para y y sus derivadas \(y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\); homogénea relativamente \(x\) y \(y\) en un sentido generalizado
Ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\) — con un lado derecho especial
Ecuación de Euler: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)
Diversas sustituciones de contexto de una ecuación
Para ecuaciones de primer orden, se utiliza el método de Bernoulli o variaciones de una constante arbitraria
Transformaciones trigonométricas e hiperbólicas
Comprobación de la pérdida de soluciones privadas
Durante los cálculos, la calculadora realiza de forma independiente agrupaciones, sustituciones o multiplicaciones de una ecuación, eligiendo un método de solución más adecuado en el proceso
Calculadora resuelve \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — integral indefinida usando los siguientes métodos y técnicas:
Tabla de integrales básicas \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)
Regla de suma (diferencia) \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)
Multiplicación por constante \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)
Regla de sustitución\(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)
Integración de funciones racionales: trigonométrica \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); hiperbólica \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); fracciones racionales \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)
Métodos de coeficientes indeterminados: factorización de polinomios, irracionalidad lineal-fraccional \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), el método Ostrogradsky \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), que contiene la raíz de un trinomio cuadrado \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), métodos directos \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)
Integración por partes \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), sustituciones trigonométricas e hiperbólicas, sustituciones de Euler, integrales de diferencial binomial \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)
Producto de funciones de potencia \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) e hiperbólica \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)
Usando fórmulas de integración conocidas, la integración con el módulo, funciones integrales \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), agrupación bajo diferencial \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), sustitución universal trigonométrica / hiperbólica, fórmula de Euler
Transformaciones de potencia, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas
Sustituciones, agrupaciones utilizando simplificaciones
Calculadora resuelve el problema \(\displaystyle\int\limits_{b}^{a}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — de calcular una integral definida por medio de un indefinido, aplicando la fórmula de Newton-Leibniz, acortamiento del período cuando el integrando es par o impar con límites simétricos, periodicidad
Para calcular integrales impropias, la calculadora considera límites en el infinito, límites del lado izquierdo y del lado derecho en los puntos de discontinuidad de la función en el intervalo
Lista de funciones matemáticas involucradas:
\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)
Colección de integrales indefinidas resueltas: Google Drive .pdf
Calculadora resuelve \(f\left(x\right)=0\) — ecuaciones, a saber:
Define región de valores admisibles \(D\left(f\right)\)
Ecuaciones lineales \(a\,x+b=0\)
Ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales y complejos \(a\,x^2+b\,x+c=0\)
Ecuaciones recíprocas de 3er grado \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)
Ecuaciones cúbicas \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)
Ecuaciones recíprocas de 4er grado \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\)
Ecuaciones recíprocas generalizadas de 4er grado \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)
Producto de cuatro términos de una progresión aritmética \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)
Ecuaciones de varias potencias, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas y sus inversas
Aplica el método de Ferrari, resolviendo el solvente cúbico de la ecuación \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)
Encontrar una raíz racional \(x=\dfrac{m}{n}\), factorización \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)
Fórmulas tabulares para funciones trigonométricas, hiperbólicas e inversas
Extrayendo la raíz de un número complejo \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)
Fórmulas y transformaciones trigonométricas e hiperbólicas
Sustitución trigonométrica universal \(u=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)
Teorema del binomio \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)
Fórmulas de suma y diferencia \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)
Agrupar términos, sacar un factor común, dividir y multiplicar ambos lados de una ecuación
Método de proporciones \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\), selección de una plaza completa \((a+b)^2+c\)
Logaritmo de ambos lados de la ecuación, exponenciación
Logaritmo complejo \(\ln\left(a+i\,b\right)\), fórmula de Euler \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\operatorname{sen}\left(x\right)\)
Sustituciones del contexto de la ecuación
Transición a una ecuación funcional simple \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)
Sustitución de una ecuación previamente calculada en una ecuación actual, búsqueda de una solución a partir de valores RVA
Para la función \(f\left(x\right)\) o \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) — dónde \(y=y\left(x\right)\), \(z=z\left(x\right)\) la calculadora muestra su derivada, junto con las reglas utilizadas en pasos concretos
Se definen las siguientes reglas:
Funciones de tabla \(\sin\left(x\right)\), \(\cos\left(x\right)\)\(\,\ldots\), adición \(u+v\), sustracción \(u-v\), multiplicación \(u\,v\), división \(\dfrac{u}{v}\), varias funciones complejas \(e^{\cos\left(x\right)}\), funciones de poder \(x^a\), \(a^x\), módulo \(\left|f\right|\) y función de signo \(\operatorname{sgn}\left(f\right)\)
La calculadora encuentra el límite de una función \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\), utilizando propiedades suma \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)+g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}+\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\), producto \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\), funcion exponencial \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\) de limites, limites comun \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}\) and \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}\), teorema del emparedado \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\), factorización, multiplicación conjugada \(\left(a-b\right)\,\left(a+b\right)\), regla de L'Hôpital \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\), expansión de Taylor \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\), sustituciones, agrupaciones y fórmula de Euler. Límites calculados tanto de dos lados \(x\to{a}\), como de un lado \(x\to{a+}\)
Calculadora convierte un número complejo \(z\) a algebraico \(z=a+i\,b\), trigonométrico \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) o forma exponencial \(z=r\,e^{i\,\varphi}\). Uso de operaciones de módulo \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\), multiplicar una fraccion por su conjugada \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\), extracción de raíces \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\), elevando a una potencia \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\), fórmulas para el logaritmo complejo \(\operatorname{Ln}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\), trigonométrico \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\), hiperbólico \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\) fórmulas, así como la fórmula de Euler \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)
La calculadora se centra en operaciones paso a paso con matrices \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) y \(\mathrm{C}\)
Su funcionalidad incluye operaciones matriciales como: adición \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), multiplicación \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), determinante \(\left|\mathrm{A}\right|\), transposición \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), rango \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), matriz inversa \(\mathrm{A}^{-1}\), exponenciación \(\mathrm{B}^4\), forma triangular \({\scriptsize\left(\begin{matrix}2&3\\0&5\end{matrix}\right)}\)
Multiplicando una matriz por una constante (cualquier función) \(a\cdot\mathrm{B}\) o suma con una constante \(c+\mathrm{A}\)
Calcular la derivada de los elementos de la matriz \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{matrix}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{matrix}\right)}\), y de manera similar, integración de una matriz \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{matrix}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{matrix}\right)}\)
Element-sabia de aplicar a una matriz de funciones matemáticas \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) — \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{matrix}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{matrix}\right)}\)
La calculadora maneja valores numéricos y combinaciones de operaciones y funciones aritméticas
Si, durante una solución, una matriz o un par de matrices no satisface una condición de una operación actual, se muestran todos los pasos calculados previamente y se indica claramente una discrepancia
Al pasar el cursor sobre los elementos calculados, se resaltan todos los valores utilizados en el cálculo. Por ejemplo, al multiplicar matrices, puede ver qué elementos de la fila y la columna están involucrados en el cálculo
Todas las operaciones no matriciales se realizan en el orden habitual durante los cálculos