चरण-दर-चरण कैलकुलेटर:

यह कैलकुलेटर \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — विभिन्न कोटि के साधारण अवकल समीकरणों (ODEs) को हल करता है, जिसमें शामिल हैं:

पृथक्करणीय समीकरण: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

समघातीय समीकरण: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

प्रथम कोटि के रैखिक समीकरण: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

इस रूप के समीकरण: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

बर्नूली अवकल समीकरण: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

रिकाटी समीकरण: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

यथार्थ अवकल समीकरण: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

अयथार्थ अवकल समीकरण: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — जहाँ \(\mu\) एक समाकलन गुणक है

पूर्ण अवकलज समीकरण: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

अवकलज के लिए अनहल समीकरण: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

इस रूप के समीकरण: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) और \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

कॉशी-ऑयलर समीकरण: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

यह कैलकुलेटर साधारण अवकल समीकरणों के निकाय भी हल करता है:

अचर गुणांकों वाले रैखिक समघातीय निकाय: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

अचर गुणांकों वाले रैखिक असमघातीय निकाय: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

यह प्रारंभिक शर्तों वाले समीकरणों और निकायों (प्रारंभिक मान समस्याओं) को भी हल करता है

यह कैलकुलेटर \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — अनिश्चित समाकलों को निम्नलिखित विधियों और तकनीकों का उपयोग करके चरण-दर-चरण हल करता है:

मूल समाकलन सूत्र: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

योग और अंतर नियम: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

अचर गुणक नियम: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

प्रतिस्थापन नियम (u-प्रतिस्थापन): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

परिमेय फलनों का समाकलन: त्रिकोणमितीय \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); अतिपरवलयिक \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); आंशिक भिन्न \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

अनिर्धारित गुणांक विधि: बहुपद गुणनखंडन, रैखिक-भिन्नात्मक अपरिमेयताएं \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), ओस्ट्रोग्राडस्की-हर्माइट विधि \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), द्विघात के वर्गमूल वाले समाकल \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), प्रत्यक्ष विधियां \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

खंडशः समाकलन \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक प्रतिस्थापन, यूलर प्रतिस्थापन, द्विपद अवकलजों के समाकल \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

\(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) की घातों के गुणनफल और अतिपरवलयिक फलन \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

मानक समाकलन सूत्र, निरपेक्ष मान वाले समाकलन, विशेष फलन \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), प्रतिलोम श्रृंखला नियम \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), वायरस्ट्रास प्रतिस्थापन (अर्ध-कोण स्पर्शज्या), यूलर का सूत्र \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

चरघातांकी, लघुगणकीय, त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक रूपांतरण

बीजीय प्रतिस्थापन और सरलीकरण के साथ पुनर्समूहन

यह कैलकुलेटर \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — निश्चित समाकलों को प्रतिअवकलज की गणना करके और कलन के मूलभूत प्रमेय को लागू करके हल करता है, सममित अंतरालों पर सम या विषम फलनों के लिए सममिति गुणधर्मों और आवर्तिता गुणधर्मों का उपयोग करते हुए

अनुचित समाकलों के लिए, कैलकुलेटर अनंत पर सीमाओं और समाकलन अंतराल के भीतर असांतत्य बिंदुओं पर एकपक्षीय सीमाओं का मूल्यांकन करता है

समर्थित गणितीय फलन:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

कैलकुलेटर \(f\left(x\right)=0\) रूप के समीकरणों को हल करता है, जिसमें शामिल हैं:

फलन के प्रांत का निर्धारण \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

रैखिक समीकरण \(a\,x+b=0\)

वास्तविक और सम्मिश्र गुणांकों वाले द्विघात समीकरण \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

\(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\) रूप के त्रिघात समीकरण

त्रिघात समीकरण \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

\(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) और \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\) रूप के चतुर्घात समीकरण

समांतर श्रेढ़ी में चार पदों का गुणनफल \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

विभिन्न चरघातांकी, लघुगणकीय, त्रिकोणमितीय, अतिपरवलयिक, और प्रतिलोम समीकरण

चतुर्घात समीकरणों को हल करने के लिए फेरारी की विधि का प्रयोग \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

परिमेय मूल \(x=\dfrac{m}{n}\) ज्ञात करना और गुणनखंडन \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

मूलभूत त्रिकोणमितीय, अतिपरवलयिक, और प्रतिलोम समीकरणों के ज्ञात हल

सम्मिश्र संख्याओं के मूल ज्ञात करना \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

अर्ध-कोण स्पर्शज्या प्रतिस्थापन \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) और \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) जहाँ \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

द्विपद प्रमेय \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

योग और अंतर के लिए बहुपद सर्वसमिकाएँ \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

सजातीय पदों को संयोजित करना और उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

भिन्नों का क्रॉस गुणन \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) और वर्ग पूर्ण करना \((a+b)^2+c\)

प्राकृतिक लघुगणक हटाने के लिए दोनों पक्षों का घातांकन

सम्मिश्र लघुगणक \(\ln\left(a+i\,b\right)\) और ऑयलर का सूत्र \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

मूलभूत फलनात्मक समीकरण \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

यह कैलकुलेटर फलन \(f\left(x\right)\) या \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) का अवकलज गणना करता है और अवकलज की गणना में प्रयुक्त नियमों को प्रदर्शित करता है।

निम्नलिखित नियम परिभाषित हैं:

\(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\) के सामान्य अवकलज

अचर नियम: \((c)'=0\)

अचर गुणक नियम: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

योग नियम: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

अंतर नियम: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

घात नियम: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

गुणनफल नियम: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

भागफल नियम: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

व्युत्क्रम नियम: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

श्रृंखला नियम: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

निरपेक्ष मान: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

चिह्न फलन: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), जहाँ \(\delta\) डिराक डेल्टा फलन है

यह कैलकुलेटर निम्नलिखित गुणों का उपयोग करके फलन की सीमा \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) ज्ञात करता है:

अचर की सीमा \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

अचर गुणक नियम \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

योग और अंतर नियम \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

गुणनफल नियम \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

भागफल नियम \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), यदि \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

घातांकी फलन की सीमा \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

सामान्य सीमाएँ \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) और \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

सैंडविच प्रमेय: यदि \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) और \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

लोपिताल नियम: यदि \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) और \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (या दोनों सीमाएँ \(\infty\) के बराबर हों), तो \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

टेलर श्रेणी \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

संयुग्मी से गुणन, प्रतिस्थापन, और ऑयलर सूत्र का उपयोग करता है

द्विपक्षीय सीमाओं \(x\to{a}\) और एकपक्षीय सीमाओं \(x\to{a^+}\) दोनों का मूल्यांकन करता है

यह कैलकुलेटर एक सम्मिश्र व्यंजक \(f(z)\) को उसके बीजगणितीय रूप \(z=a+i\,b\), त्रिकोणमितीय रूप \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\), और घातांकीय रूप \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) में निम्नलिखित का उपयोग करके परिवर्तित करता है:

सम्मिश्र संख्या का मापांक: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

सम्मिश्र संख्या का मूल: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

सम्मिश्र संख्या की घात: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

संयुग्मी द्वारा भिन्न का परिमेयीकरण: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

सम्मिश्र लघुगणक: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

सम्मिश्र लघुगणक का मुख्य मान: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक सर्वसमिकाएँ जैसे \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) या \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), और ऑयलर का सूत्र \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

यह कैलकुलेटर आव्यूहों \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), और \(\mathrm{C}\) के साथ दिए गए आव्यूह व्यंजकों का मूल्यांकन करता है

इसकी कार्यक्षमता में आव्यूह संक्रियाएँ शामिल हैं जैसे: योग \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), व्यवकलन \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), गुणन \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), सारणिक \(\left|\mathrm{A}\right|\), परिवर्त \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), कोटि \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), प्रतिलोम \(\mathrm{A}^{-1}\), अदिश गुणन \(a\cdot\mathrm{B}\), या अदिश के साथ योग \(c+\mathrm{A}\)

आव्यूह अवयवों का अवकलज \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) या आव्यूह अवयवों का समाकल \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\) की गणना करता है

गणितीय फलनों \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) को आव्यूह पर अवयववार लागू करता है, उदाहरण के लिए \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

संख्यात्मक मानों और अंकगणितीय संक्रियाओं तथा फलनों के संयोजनों दोनों का मूल्यांकन करता है