Calculator de integrale — Rezolvă integrale definite și nedefinite (primitive)

Calculator de integrale pentru rezolvarea integralelor cu soluții pas cu pas, grafice interactive, selecție manuală a pașilor, scanare integrale din poze sau cameră. Utilizează: tabel de integrale, substituție u, integrare prin părți, descompunere în fracții parțiale, formule trigonometrice, hiperbolice și logaritmice, diviziune polinomială, substituție Euler, integrale de diferențiale binomiale, substituție Weierstrass și metoda lui Ostrogradsky. Pentru integrale definite, inclusiv cele improprii, calculatorul aplică Teorema fundamentală a calculului integral.

Integrați în raport cu

Limita superioară			+∞
Limita inferioară			-∞

Se încarcă conținutul

Copiază linkul către această soluție

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Verifică prin derivarea primitivei

Integrala inițială

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Primitivă

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Soluție pas cu pas

Calculăm

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Factorizarea numitorului

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Descompunerea în fracții simple

Descompunerea funcției raționale în fracții simple

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

Aducerea termenilor din membrul drept la numitor comun

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

Egalarea coeficienților termenilor

x^{n}

din numărătorii ambilor membri

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

Substituirea coeficienților în descompunerea în fracții simple

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Rescriere

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Liniaritate

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Calculăm

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Rescrierea integralei folosind

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Calculăm

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Substituție

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Integrală standard

ln (u)

Revenire la variabila inițială

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Calculăm

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Completarea pătratului

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Substituție

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Substituție

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Scoaterea factorului comun

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Integrală standard

- \frac{1}{3} \cdot arctan (t) = - \frac{arctan ( t )}{3}

Revenire la variabila inițială

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctan ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Revenire la variabila inițială

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Calculăm

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Ajustarea diferențialei

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Integrală standard

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Calculăm

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Substituție

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Regula puterii pentru integrare

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

unde

n = - 2

- \frac{1}{u}

Revenire la variabila inițială

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Calculăm

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Ajustarea diferențialei

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Integrală standard

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

Adăugați această pagină la favorite — CTRL+D

Pune o întrebare AI