Máy tính tích phân. Giải Tích phân xác định và bất định (nguyên hàm)

Máy tính tích phân các hàm bằng các phương pháp: đổi biến, phân thức hữu tỉ, hệ số bất định, phân tích thành thừa số, phân tuyến tính vô tỉ, Ostrogradsky, tích phân từng phần, phép thế Euler, nhị thức vi phân, tích phân với trị tuyệt đối, các hàm tích phân đặc biệt, biến đổi lũy thừa, lượng giác, hyperbolic, hạ bậc và nhóm. Đối với tích phân xác định, áp dụng công thức Newton-Leibniz và tính giới hạn tại các điểm gián đoạn

Biến tích phân

Giới hạn trên			+∞
Giới hạn dưới			-∞

Nội dung đang tải

Liên kết đến giải pháp này

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm nguyên hàm

Tích phân ban đầu

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Nguyên hàm

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Lời giải từng bước

Đang tính

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Phân tích mẫu số

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Phân tích thành phân số riêng phần

Phân tích hàm hữu tỉ thành phân số riêng phần

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

Quy đồng mẫu số các số hạng ở vế phải

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

Cân bằng hệ số của các số hạng

x^{n}

trong tử số ở hai vế

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

Thay các hệ số vào phân số riêng phần

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Viết lại

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Tính tuyến tính

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Đang tính

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Viết lại tích phân sử dụng

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Đang tính

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Phép đổi biến

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Tích phân cơ bản

ln (u)

Thế ngược

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Đang tính

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Hoàn thành bình phương

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Phép đổi biến

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Phép đổi biến

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Đặt nhân tử chung

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Tích phân cơ bản

- \frac{1}{3} \cdot arctan (t) = - \frac{arctan ( t )}{3}

Thế ngược

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctan ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Thế ngược

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctan ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Đang tính

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Điều chỉnh vi phân

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Tích phân cơ bản

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Đang tính

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Phép đổi biến

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Quy tắc lũy thừa cho tích phân

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

trong đó

n = - 2

- \frac{1}{u}

Thế ngược

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Đang tính

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Điều chỉnh vi phân

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Tích phân cơ bản

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

arctan (x)

C

Đánh dấu trang này — CTRL+D

Đặt câu hỏi cho AI