단계별 계산기 :

이 계산기는 \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — 다양한 차수의 상미분방정식(ODE)을 풀며, 다음을 포함합니다:

분리형 방정식: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

동차 방정식: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

1계 선형 방정식: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

다음 형태의 방정식: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

베르누이 미분방정식: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

리카티 방정식: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

완전 미분방정식: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

불완전 미분방정식: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — 여기서 \(\mu\)는 적분인자

전미분 방정식: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

도함수에 대해 풀리지 않은 방정식: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

다음 형태의 방정식: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) 및 \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

상수계수 선형 미분방정식: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

코시-오일러 방정식: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

이 계산기는 연립 상미분방정식도 풀 수 있습니다:

상수계수 선형 동차 연립방정식: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

상수계수 선형 비동차 연립방정식: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

초기조건이 있는 방정식 및 연립방정식(초기값 문제)도 풀 수 있습니다

이 계산기는 \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — 부정적분을 다음 방법과 기법을 사용하여 단계별로 풀이합니다:

기본 적분 공식: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

합과 차의 법칙: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

상수배 법칙: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

치환 법칙 (u-치환): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

유리함수의 적분: 삼각함수 \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); 쌍곡선함수 \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); 부분분수 \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

미정계수법: 다항식 인수분해, 일차분수 무리식 \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), 오스트로그라드스키-에르미트 방법 \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), 이차식의 제곱근을 포함한 적분 \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), 직접법 \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

부분적분 \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), 삼각 및 쌍곡선 치환, 오일러 치환, 이항 미분의 적분 \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

\(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\)의 거듭제곱의 곱과 쌍곡선함수 \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

표준 적분 공식, 절댓값을 포함한 적분, 특수함수 \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), 역연쇄 법칙 \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), 바이어슈트라스 치환 (반각 탄젠트), 오일러 공식 \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

지수함수, 로그함수, 삼각함수 및 쌍곡선함수 변환

대수적 치환과 간소화를 통한 재배열

이 계산기는 \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — 정적분을 역도함수를 계산하고 미적분학의 기본정리를 적용하여 풀이하며, 대칭 구간에서 우함수 또는 기함수의 대칭 성질과 주기 성질을 활용합니다

이상적분의 경우, 계산기는 무한대에서의 극한과 적분 구간 내 불연속점에서의 단측 극한을 계산합니다

지원하는 수학 함수:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

이 계산기는 다음을 포함하여 \(f\left(x\right)=0\) 형태의 방정식을 풉니다:

함수의 정의역 결정 \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

일차방정식 \(a\,x+b=0\)

실수 및 복소수 계수를 가진 이차방정식 \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

\(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\) 형태의 삼차방정식

삼차방정식 \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

\(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) 및 \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\) 형태의 사차방정식

등차수열의 네 항의 곱 \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

다양한 지수, 로그, 삼각, 쌍곡선 및 역함수 방정식

사차방정식 \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)을 풀기 위한 페라리 방법 적용

유리근 \(x=\dfrac{m}{n}\) 찾기 및 인수분해 \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

기본 삼각, 쌍곡선 및 역함수 방정식의 알려진 해

복소수의 거듭제곱근 \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

반각 탄젠트 치환 \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) 및 \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) 여기서 \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

이항정리 \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

합과 차에 대한 다항식 항등식 \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

동류항 정리 및 공통인수 추출 \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

분수의 교차곱 \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) 및 완전제곱식 \((a+b)^2+c\)

자연로그를 제거하기 위한 양변의 지수화

복소 로그 \(\ln\left(a+i\,b\right)\) 및 오일러 공식 \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

기본 함수방정식 \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

이 계산기는 함수 \(f\left(x\right)\) 또는 \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\)의 도함수를 계산하고 도함수를 구하는 데 사용된 규칙을 표시합니다.

다음 규칙들이 정의되어 있습니다:

\(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)의 기본 도함수

상수 법칙: \((c)'=0\)

상수배 법칙: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

합의 법칙: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

차의 법칙: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

거듭제곱 법칙: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

곱의 법칙: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

몫의 법칙: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

역수 법칙: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

연쇄 법칙: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

절댓값: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

부호 함수: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), 여기서 \(\delta\)는 디랙 델타 함수입니다

이 계산기는 다음 성질들을 사용하여 함수의 극한 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\)을 구합니다:

상수의 극한 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

상수배 법칙 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

합차 법칙 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

곱의 법칙 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

몫의 법칙 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), 단 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

지수함수의 극한 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

기본 극한 \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) 및 \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

조임 정리: \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\)이고 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

로피탈의 법칙: \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\)이고 \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\)이면 (또는 두 극한이 모두 \(\infty\)이면), \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

테일러 급수 \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

켤레식 곱하기, 치환, 오일러 공식을 적용합니다

양측 극한 \(x\to{a}\)과 단측 극한 \(x\to{a^+}\)을 모두 계산합니다

이 계산기는 복소수 표현식 \(f(z)\)를 다음 공식을 사용하여 대수적 형식 \(z=a+i\,b\), 삼각함수 형식 \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\), 지수 형식 \(z=r\,e^{i\,\varphi}\)으로 변환합니다:

복소수의 절댓값: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

복소수의 거듭제곱근: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

복소수의 거듭제곱: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

켤레복소수를 이용한 분수의 유리화: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

복소 로그: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

복소 로그의 주치: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

삼각함수 및 쌍곡선 함수 항등식 예: \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) 또는 \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), 그리고 오일러 공식 \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

이 계산기는 행렬 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\)를 포함한 주어진 행렬 표현식을 계산합니다

지원하는 행렬 연산에는 다음이 포함됩니다: 덧셈 \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), 뺄셈 \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), 곱셈 \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), 행렬식 \(\left|\mathrm{A}\right|\), 전치 \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), 계수(rank) \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), 역행렬 \(\mathrm{A}^{-1}\), 스칼라 곱 \(a\cdot\mathrm{B}\), 또는 스칼라와의 덧셈 \(c+\mathrm{A}\)

행렬 원소의 미분 \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) 또는 행렬 원소의 적분 \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)을 계산합니다

수학 함수 \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) 등을 행렬의 각 원소에 적용합니다. 예를 들어 \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

수치 값과 산술 연산 및 함수의 조합을 모두 계산합니다