Calculatoare pas cu pas:

Acest calculator rezolvă \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — ecuații diferențiale ordinare (EDO) de diferite ordine, inclusiv:

Ecuații cu variabile separabile: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Ecuații omogene: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Ecuații liniare de ordinul întâi: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Ecuații de forma: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Ecuații diferențiale Bernoulli: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Ecuații Riccati: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Ecuații diferențiale exacte: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Ecuații diferențiale neexacte: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — unde \(\mu\) este un factor integrant

Ecuații cu diferențială totală: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Ecuații nerezolvate în raport cu derivata: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Ecuații de forma: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) și \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Ecuații Cauchy-Euler: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Calculatorul rezolvă de asemenea sisteme de ecuații diferențiale ordinare:

Sisteme liniare omogene cu coeficienți constanți: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Sisteme liniare neomogene cu coeficienți constanți: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

De asemenea, rezolvă ecuații și sisteme cu condiții inițiale (probleme cu valori inițiale)

Acest calculator rezolvă \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — integrale nedefinite pas cu pas folosind următoarele metode și tehnici:

Formule de integrare de bază: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Regula sumei și diferenței: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Regula constantei multiplicative: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Regula substituției (substituția u): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Integrarea funcțiilor raționale: trigonometrice \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); hiperbolice \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); fracții parțiale \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Metoda coeficienților nedeterminați: factorizarea polinoamelor, iraționalități liniar-fracționare \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), metoda Ostrogradski–Hermite \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), integrale cu radicali din polinoame de gradul doi \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), metode directe \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Integrarea prin părți \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), substituții trigonometrice și hiperbolice, substituțiile lui Euler, integrale de diferențiale binomiale \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Produse de puteri ale \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) și funcții hiperbolice \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Formule standard de integrare, integrare cu valori absolute, funcții speciale \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), regula lanțului invers \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), substituția Weierstrass (tangenta unghiului jumătate), formula lui Euler \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Transformări exponențiale, logaritmice, trigonometrice și hiperbolice

Substituții algebrice și regrupare cu simplificare

Acest calculator rezolvă \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — integrale definite prin calcularea primitivei și aplicarea Teoremei Fundamentale a Calculului Integral, folosind proprietăți de simetrie pentru funcții pare sau impare pe intervale simetrice și proprietăți de periodicitate

Pentru integrale improprii, calculatorul evaluează limite la infinit și limite laterale în punctele de discontinuitate din intervalul de integrare

Funcții matematice suportate:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

Calculatorul rezolvă ecuații de forma \(f\left(x\right)=0\), inclusiv:

Determinarea domeniului de definiție al unei funcții \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Ecuații liniare \(a\,x+b=0\)

Ecuații de gradul doi cu coeficienți reali și complecși \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Ecuații de gradul trei de forma \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Ecuații de gradul trei \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Ecuații de gradul patru de forma \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) și \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Produse de patru termeni în progresie aritmetică \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Diverse ecuații exponențiale, logaritmice, trigonometrice, hiperbolice și inverse

Aplicarea metodei lui Ferrari pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul patru \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Găsirea rădăcinilor raționale \(x=\dfrac{m}{n}\) și factorizarea \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Soluții cunoscute ale ecuațiilor trigonometrice, hiperbolice și inverse de bază

Găsirea rădăcinilor numerelor complexe \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Substituția tangentei unghiului înjumătățit \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) și \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\) unde \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Teorema binomului \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Identități polinomiale pentru sume și diferențe \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Reducerea termenilor asemenea și factorizarea factorilor comuni \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Înmulțirea încrucișată a fracțiilor \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) și completarea pătratului \((a+b)^2+c\)

Ridicarea la putere a ambilor membri pentru eliminarea logaritmilor naturali

Logaritmi complecși \(\ln\left(a+i\,b\right)\) și formula lui Euler \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Ecuații funcționale de bază \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Acest calculator calculează derivata unei funcții \(f\left(x\right)\) sau \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) și afișează regulile utilizate pentru calcularea derivatei.

Sunt definite următoarele reguli:

Derivate comune ale \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Regula constantei: \((c)'=0\)

Regula multiplicării cu o constantă: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Regula sumei: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Regula diferenței: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Regula puterii: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Regula produsului: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Regula câtului: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Regula inversului: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Regula lanțului: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Valoarea absolută: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Funcția semn: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), unde \(\delta\) este funcția delta Dirac

Acest calculator determină limita unei funcții \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\) folosind următoarele proprietăți:

Limita unei constante \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Regula multiplicării cu o constantă \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Regula sumei și diferenței \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Regula produsului \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Regula câtului \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), dacă \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Limita unei funcții exponențiale \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Limite fundamentale \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) și \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Teorema cleștelui: dacă \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) și \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

Regula lui L'Hôpital: dacă \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) și \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (sau ambele limite sunt egale cu \(\infty\)), atunci \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Seria Taylor \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Aplică înmulțirea cu conjugata, substituții și formula lui Euler

Calculează atât limite bilaterale \(x\to{a}\) cât și limite laterale \(x\to{a^+}\)

Acest calculator convertește o expresie complexă \(f(z)\) în forma sa algebrică \(z=a+i\,b\), forma trigonometrică \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) și forma exponențială \(z=r\,e^{i\,\varphi}\) folosind:

Modulul unui număr complex: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Rădăcina unui număr complex: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Puterea unui număr complex: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Raționalizarea unei fracții prin conjugatul său: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Logaritmul complex: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Valoarea principală a logaritmului complex: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Identități trigonometrice și hiperbolice precum \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) sau \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), și formula lui Euler \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Acest calculator evaluează expresii matriceale date cu matricele \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) și \(\mathrm{C}\)

Funcționalitatea sa include operații cu matrice precum: adunarea \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), scăderea \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), înmulțirea \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), determinantul \(\left|\mathrm{A}\right|\), transpusa \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), rangul \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), inversa \(\mathrm{A}^{-1}\), înmulțirea cu scalar \(a\cdot\mathrm{B}\) sau adunarea cu un scalar \(c+\mathrm{A}\)

Calculează derivata elementelor matricei \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) sau integrala elementelor matricei \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Aplică funcții matematice \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) element cu element asupra matricei, de exemplu \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Evaluează atât valori numerice, cât și combinații de operații aritmetice și funcții