Калькулятор Интегралов. Решение Определенных и Неопределенных Интегралов (первообразных)

Калькулятор интегрирует функции методами: замены переменной, рациональных дробей, неопределенных коэффициентов, разложения на множители, дробно-линейных иррациональностей, Остроградского, прямыми методами, по частям, подстановками Эйлера, дифференциального бинома, интегрирования с модулем, интегральных функций, степенных, тригонометрических и гиперболических преобразований, понижения степени и группировок. Для определенных интегралов применяется формула Ньютона-Лейбница с вычислением пределов в точках разрыва

Переменная интегрирования

Верхний предел			+∞
Нижний предел			-∞

Загрузка...

Ссылка на решение

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Вычислить производную найденной первообразной

Исходный интеграл

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Первообразная

\frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4} + C

Пошаговое решение

Вычисляем

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} d x

Разложение знаменателя на множители

\int \frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Метод неопределенных коэффициентов

Выразим рациональную дробь в виде суммы простейших дробей

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

Приведем слагаемые в правой части к их общему знаменателю

\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( A + C + E ) x ^{4} + ( A + B - C + D + E ) x ^{3} + ( - A + B - 2 D ) x ^{2} + ( - A - B + C + 2 D + E ) x + ( - B - C - D + E )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2} ( x ^{2} - x + 1 )}

Приравняем коэффициенты слагаемых

x^{n}

в числителях c обеих сторон

x^{0} : x^{1} : x^{2} : x^{3} : x^{4} : ⎩ ⎨ ⎧ - B - C - D + E = 0 - A - B + C + 2 D + E = 0 - A + B - 2 D = 1 A + B - C + D + E = 0 A + C + E = 0 = ⎩ ⎨ ⎧ A = - \frac{1}{3} B = \frac{1}{3} C = \frac{1}{12} D = - \frac{1}{6} E = \frac{1}{4}

Перепишем интеграл, подставив найденные коэффициенты в разложение

\frac{A x + B}{x ^{2} - x + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{( x + 1 ) ^{2}} + \frac{E}{x - 1}

\int \frac{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Перепишем

\int - \frac{x - 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} + \frac{1}{12 ( x + 1 )} - \frac{1}{6 ( x + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

Линейность

Подробнее

1. Свойство суммы или разности:

• Интеграл суммы или разности равен сумме или разности интегралов:

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$

$\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$

• Пример:

$\int (2 x + 3) d x = \int 2 x d x + \int 3 d x$

2. Свойство постоянного множителя:

• Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

$\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x$

• Пример:

$\int 5 x d x = 5 \int x d x$

3. Линейность:

• Сочетание первых двух свойств:

$\int (a \cdot f (x) + b \cdot g (x)) d x =$

$= a \cdot \int f (x) d x + b \cdot \int g (x) d x$

• Пример:

$\int (2 x^{2} + 3 sin (x)) d x =$

$= 2 \int x^{2} d x + 3 \int sin (x) d x$

- \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \frac{1}{12} \int \frac{1}{x + 1} d x - \frac{1}{6} \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x =

= - \frac{1}{3} \cdot (1) + \frac{1}{12} \cdot (4) - \frac{1}{6} \cdot (5) + \frac{1}{4} \cdot (6)

= \frac{ln ( ∣ x + 1 ∣ )}{12} - \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{6} + \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3 3} + \frac{1}{6 ( x + 1 )} + \frac{ln ( ∣ x - 1 ∣ )}{4}

Вычисляем

\int \frac{x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(1)

Перепишем интеграл, используя

x - 1 = \frac{1}{2} (2 x - 1) - \frac{1}{2}

\frac{1}{2} \int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x =

= \frac{1}{2} \cdot (2) + (3)

= \frac{ln ( x ^{2} - x + 1 )}{2} - \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Вычисляем

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} - x + 1} d x

(2)

Подстановка

u = x^{2} - x + 1 d u = (2 x - 1) d x

[1]

\int \frac{1}{u} d u

Табличный интеграл

Подробнее

Табличные интегралы:

1. $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ где $n \neq = - 1$

2. $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ где $x \neq = 0$

3. $\int \frac{1}{x ^{2} + 1} d x = {arctg (x) + C - arcctg (x) + C$

4. $\int \frac{1}{1 - x ^{2}} d x = \frac{1}{2} ln ∣ ∣ \frac{1 + x}{1 - x} ∣ ∣ + C$

5. $\int \frac{1}{1 - x ^{2}} d x = {arcsin (x) + C - arccos (x) + C$

6. $\int \frac{1}{x ^{2} \pm 1} d x = ln ∣ ∣ x + x^{2} \pm 1 ∣ ∣ + C$

7. $\int e^{x} d x = e^{x} + C$

8. $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln ( a )} + C$ где $a > 0$ , $a \neq = 1$

9. $\int sin (x) d x = - cos (x) + C$

10. $\int cos (x) d x = sin (x) + C$

11. $\int \frac{1}{sin ^{2} ( x )} d x = - ctg (x) + C$

12. $\int \frac{1}{cos ^{2} ( x )} d x = tg (x) + C$

13. $\int sh (x) d x = ch (x) + C$

14. $\int ch (x) d x = sh (x) + C$

15. $\int \frac{1}{sh ^{2} ( x )} d x = - cth (x) + C$

16. $\int \frac{1}{ch ^{2} ( x )} d x = th (x) + C$

ln (u)

Обратная замена

u = x^{2} - x + 1

[1]

ln (x^{2} - x + 1)

Вычисляем

\int - \frac{1}{2 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

(3)

Выделяем полный квадрат

Подробнее

Для того чтобы выделить полный квадрат выражения $a x^{2} + b x + c$ :

1. Добавьте и вычтите $\frac{1}{a} \cdot (\frac{b}{2})^{2}$ , где $a$ и $b$ — коэффициенты при $x^{2}$ и $x$ соотвественно.

2. Примените одну из следующих формул:

$a^{2} + 2 b + b^{2} = (a + b)^{2}$

или

$a^{2} - 2 b + b^{2} = (a - b)^{2}$

3. Упростите полученное выражение.

Пример:

Выделим полный квадрат для $x^{2} + 4 x - 5$ :

1. Добавим и вычтем $4$ (так как $(\frac{4}{2})^{2} = 4$ ): $x^{2} + 4 x + 4 - 4 - 5$ .

2. Выделим полный квадрат: $(x + 2)^{2} - 4 - 5$ .

3. Упростим результат: $(x + 2)^{2} - 9$ .

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Подстановка

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2} d x = d v

[2]

- \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2} + \frac{3}{4}} d v

Подстановка

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2} d v = \frac{3}{2} d t

[3]

- \frac{1}{2} \int \frac{3}{2 ( \frac{3 t ^{2}}{4} + \frac{3}{4} )} d t

Вынесем общий множитель

- \frac{1}{2} \int \frac{2}{3 ( t ^{2} + 1 )} d t

Табличный интеграл

- \frac{1}{3} \cdot arctg (t) = - \frac{arctg ( t )}{3}

Обратная замена

t = \frac{2 v}{3} v = \frac{3 t}{2}

[3]

- \frac{arctg ( \frac{2 v}{3} )}{3}

Обратная замена

v = x - \frac{1}{2} x = \frac{2 v + 1}{2}

[2]

- \frac{arctg ( \frac{2 x - 1}{3} )}{3}

Вычисляем

\int \frac{1}{x + 1} d x

(4)

Внесение под дифференциал

\int \frac{1}{x + 1} d (x + 1)

Табличный интеграл

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x + 1 ∣)

Вычисляем

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x

(5)

Подстановка

u = x + 1 x = u - 1 d x = d u

[4]

\int \frac{1}{u ^{2}} d u

Интеграл от степенной функции

\int u^{n} d u = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}, (n \neq = - 1)

при

n = - 2

- \frac{1}{u}

Обратная замена

u = x + 1 x = u - 1

[4]

- \frac{1}{x + 1}

Вычисляем

\int \frac{1}{x - 1} d x

(6)

Внесение под дифференциал

\int \frac{1}{x - 1} d (x - 1)

Табличный интеграл

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

ln (∣ x - 1 ∣)

ln (x)

arctg (x)

d x

C

Добавить страницу в закладки — CTRL+D