Пошаговые калькуляторы:

Калькулятор решает \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) разных порядков, а именно:

Уравнения с разделяющимися переменными: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Однородные уравнения: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Приведение к однородному подстановкой \(y=z^{\lambda}\)

Линейные уравнения первого порядка: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Уравнения вида: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Дифференциальное уравнение Бернулли: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Дифференциальное уравнение Риккати: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Уравнение в полных дифференциалах: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Поиск интегрирующего множителя: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — где \(\mu=\mu\left(x\right)\), \(\mu=\mu\left(y\right)\) или \(\mu=\mu\left(z\left(x,\,y\right)\right)\)

Группировка полных дифференциалов и внесение под дифференциал \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\), \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y,\,y',\dots\right)\right)=0\)

Уравнения не разрешенные относительно производной: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\) — метод введения параметра \(p\,\); вычисление полного дифференциала; замена \(\mathrm{d}y=p\,\mathrm{d}x\); разрешение относительно \(y'\)

Уравнения, допускающие понижение порядка — замена \(y^{\left(k\right)}=z\) для уравнений вида \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\); подстановка \(y'=p\left(y\right)\) для \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\); однородное уравнение относительно y и его производных \(y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\); однородное относительно \(x\) и \(y\) в обобщенном смысле

Однородные и неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\) — со специальной правой частью; метод вариации постоянных

Уравнение Эйлера: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Различные замены из контекста уравнения

Для уравнений первого порядка используется метод Бернулли или вариации произвольной постоянной Лагранжа

Тригонометрические и гиперболические преобразования

Проверка на потерю частных решений

Во время вычислений калькулятор самостоятельно производит группировку, подстановки или домножение уравнения, выбирая в процессе более подходящий метод решения

Калькулятор пошагово вычисляет \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — неопределенный интеграл используя следующие методы и приемы:

Основные табличные интегралы \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Правило интегрирования суммы (разности) \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Вынесение постоянной за знак интеграла \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Замена переменной \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Интегрирование рациональных функций: тригонометрических \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); гиперболических \(\mathrm{R}\left(\operatorname{sh}\left(x\right),\;\operatorname{ch}\left(x\right)\right)\); рациональных дробей \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Методы неопределенных коэффициентов: разложение многочленов на множители, дробно-линейная иррациональность \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), метод Остроградского \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), содержащие корень из квадратного трехчлена \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), прямые методы \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Интегрирование по частям \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), тригонометрические и гиперболические подстановки, подстановки Эйлера, интегралы от дифференциального бинома \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Произведение степенных функций \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) и гиперболических \(\operatorname{sh}^n\left(x\right)\,\operatorname{ch}^m\left(x\right)\)

Использование известных формул интегрирования, интегрирование с модулем, интегральные функции \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), внесение под дифференциал \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), универсальная тригонометрическая/гиперболическая подстановка, формула Эйлера

Степенные, логарифмические, тригонометрические и гиперболические преобразования

Подстановки, группировки с использованием упрощений

Задачу вычисления \(\displaystyle\int\limits_{b}^{a}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — определенного интеграла калькулятор решает посредством неопределенного, применяя формулу Ньютона-Лейбница, сокращение периода при четности или нечетности подынтегральной функции при симметричных пределах, периодичность

Для вычисления несобственных интегралов рассматриваются пределы на бесконечности, левосторонние и правосторонние пределы в точках разрыва функции на промежутке

Список задействованных математических функций:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\operatorname{tg}\) \(\operatorname{ctg}\) \(\operatorname{arctg}\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arcctg}\) \(\operatorname{sh}\) \(\operatorname{ch}\) \(\operatorname{th}\) \(\operatorname{cth}\) \(\operatorname{sch}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsh}\) \(\operatorname{arch}\) \(\operatorname{arth}\) \(\operatorname{arcth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsch}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\operatorname{cosec}\) \(\left|f\right|\)

Сборник решенных неопределенных интегралов: Google Drive .pdf

Калькулятор решает \(f\left(x\right)=0\) — уравнения, а именно:

Определяет область допустимых значений \(D\left(f\right)\)

Линейные уравнения \(a\,x+b=0\)

Квадратные уравнения с вещественными и комплексными коэффициентами \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Возвратные уравнения 3-й степени \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Кубические уравнения \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Возвратные уравнения 4-й степени \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\)

Обобщенные возвратные уравнения 4-й степени \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Произведение четырех членов арифметической прогрессии \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Уравнения различных степеней, логарифмические, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним

Применяет метод Феррари, решение кубической резольвенты для уравнения \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Поиск рационального корня \(x=\dfrac{m}{n}\), разложение на множители \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Табличные формулы для тригонометрических, гиперболических и обратных к ним функций

Извлечение корня из комплексного числа \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Тригонометрические и гиперболические формулы и преобразования

Универсальную тригонометрическую подстановку \(u=\operatorname{tg}\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Бином Ньютона \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Формулы суммы и разности степеней \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Группировку слагаемых, вынесение общего множителя, деление и умножение обеих частей уравнения

Метод пропорций \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\), выделение полного квадрата \((a+b)^2+c\)

Логарифмирование обеих частей уравнения, возведение в степень

Комплексный логарифм \(\ln\left(a+i\,b\right)\), формулу Эйлера \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Замены из контекста уравнения

Переход к простому функциональному уравнению \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Подстановку вычисленного ранее уравнения в текущее уравнение, поиск решения из значений ОДЗ

После ввода функции \(f\left(x\right)\) или \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) — где \(y=y\left(x\right)\), \(z=z\left(x\right)\) калькулятор отобразит её производную, вместе с используемыми правилами на конкретных шагах

Определены следующие правила:

Табличные функции \(\sin\left(x\right)\), \(\cos\left(x\right)\)\(\,\ldots\), сложение \(u+v\), вычитание \(u-v\), умножение \(u\,v\), деление \(\dfrac{u}{v}\), различные сложные функции \(e^{\cos\left(x\right)}\), степенные функции \(x^a\), \(a^x\), модуль \(\left|f\right|\) и знаковая функция \(\operatorname{sgn}\left(f\right)\)

Калькулятор находит предел функции \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\), используя свойства суммы \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)+g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}+\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\), произведения \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\), показательной функции \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\) пределов, первый \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}\) и второй \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}\) замечательные пределы, теорему о двух милиционерах \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\), разложение на множители, домножение на сопряженное \(\left(a-b\right)\,\left(a+b\right)\), правило Лопиталя \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\), разложение в ряд Тейлора \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\), подстановки, группировки и формулу Эйлера. Рассматривает как двусторонние \(x\to{a}\), так и односторонние пределы \(x\to{a+}\)

Калькулятор приводит комплексное число \(z\) к алгебраической \(z=a+i\,b\), тригонометрической \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) или экспоненциальной форме \(z=r\,e^{i\,\varphi}\). С помощью операций модуля \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\), домножения дроби на сопряженное \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\), извлечения корня \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\), возведения в степень \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\), формулы для комплексного логарифма \(\operatorname{Ln}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\), тригонометрических \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\), и гиперболических \(\operatorname{sh}\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\) формул, а также формулы Эйлера \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Калькулятор ориентирован на пошаговое выполнение операций с матрицами \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) и \(\mathrm{C}\)

В его функционал входят такие матричные операции как: сложение \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), умножение \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), нахождение определителя \(\left|\mathrm{A}\right|\), транспонирование \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), вычисление ранга \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), обратная матрица \(\mathrm{A}^{-1}\), возведение в степень \(\mathrm{B}^4\), треугольный вид \({\scriptsize\left(\begin{gathered}2&3\\0&5\end{gathered}\right)}\)

Умножение матрицы на константу (любую функцию) \(a\cdot\mathrm{B}\) или сложение с константой \(c+\mathrm{A}\)

Вычисление производной от элементов матрицы \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\), и аналогично — интегрирование матрицы \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Поэлементное применение к матрице математических функций \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) — \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Калькулятор обрабатывает как числовые значения, так и комбинации из арифметических операций и функций

Если в ходе решения матрица, либо пара матриц не удовлетворяют условию выполнения текущей операции — отображаются все вычисленные ранее шаги и наглядно указывается несоответствие

При наведении на вычисленные элементы — подсвечиваются все значения, используемые в вычислении. Например, при умножении матриц можно увидеть какие элементы строки и столбца задействованы в расчете

Все не матричные операции проводятся в обычном порядке по ходу вычислений