Kalkulatory krok po kroku:

Ten kalkulator rozwiązuje \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — równania różniczkowe zwyczajne (ODE) różnych rzędów, w tym:

Równania o zmiennych rozdzielonych: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Równania jednorodne: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Równania liniowe pierwszego rzędu: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Równania postaci: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Równania różniczkowe Bernoulliego: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Równania Riccatiego: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Równania różniczkowe zupełne: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Równania różniczkowe niezupełne: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — gdzie \(\mu\) jest czynnikiem całkującym

Równania różniczki zupełnej: \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Równania nierozwiązane względem pochodnej: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\)

Równania postaci: \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) oraz \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\)

Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\)

Równania Cauchy'ego-Eulera: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Kalkulator rozwiązuje również układy równań różniczkowych zwyczajnych:

Układy liniowe jednorodne o stałych współczynnikach: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)\)

Układy liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach: \(X'\left(t\right)=A\,X\left(t\right)+f\left(t\right)\)

Rozwiązuje również równania i układy z warunkami początkowymi (zagadnienia początkowe)

Ten kalkulator rozwiązuje \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — całki nieoznaczone krok po kroku, stosując następujące metody i techniki:

Podstawowe wzory całkowania: \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Reguła sumy i różnicy: \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Reguła stałej wielokrotności: \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Metoda podstawiania (podstawienie): \(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Całkowanie funkcji wymiernych: trygonometrycznych \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); hiperbolicznych \(\mathrm{R}\left(\sinh\left(x\right),\;\cosh\left(x\right)\right)\); rozkład na ułamki proste \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Metoda współczynników nieoznaczonych: rozkład wielomianów na czynniki, niewymierności liniowo-ułamkowe \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), metoda Ostrogradskiego–Hermite'a \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), całki zawierające pierwiastki kwadratowe z funkcji kwadratowych \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), metody bezpośrednie \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Całkowanie przez części \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), podstawienia trygonometryczne i hiperboliczne, podstawienia Eulera, całki z dwumianów różniczkowych \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Iloczyny potęg \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) oraz funkcji hiperbolicznych \(\sinh^n\left(x\right)\,\cosh^m\left(x\right)\)

Standardowe wzory całkowania, całkowanie z wartością bezwzględną, funkcje specjalne \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), odwrotna reguła łańcuchowa \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), podstawienie Weierstrassa (tangensa połówkowego kąta), wzór Eulera \(e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)\)

Przekształcenia wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i hiperboliczne

Podstawienia algebraiczne i przegrupowanie z uproszczeniem

Ten kalkulator rozwiązuje \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — całki oznaczone poprzez obliczanie funkcji pierwotnej i zastosowanie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego, wykorzystując własności symetrii dla funkcji parzystych lub nieparzystych na przedziałach symetrycznych oraz własności okresowości

Dla całek niewłaściwych kalkulator oblicza granice w nieskończoności oraz granice jednostronne w punktach nieciągłości wewnątrz przedziału całkowania

Obsługiwane funkcje matematyczne:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\tan\) \(\cot\) \(\arctan\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arccot}\) \(\sinh\) \(\cosh\) \(\tanh\) \(\coth\) \(\operatorname{sech}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsinh}\) \(\operatorname{arcosh}\) \(\operatorname{artanh}\) \(\operatorname{arcoth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsech}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\csc\) \(\left|f\right|\)

Kalkulator rozwiązuje równania postaci \(f\left(x\right)=0\), w tym:

Wyznaczanie dziedziny funkcji \(\mathrm{dom}\left(f\right)\)

Równania liniowe \(a\,x+b=0\)

Równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych i zespolonych \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Równania sześcienne postaci \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Równania sześcienne \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Równania czwartego stopnia postaci \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\) oraz \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Iloczyny czterech wyrazów ciągu arytmetycznego \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Różne równania wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, hiperboliczne i odwrotne

Stosowanie metody Ferrariego do rozwiązywania równań czwartego stopnia \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Znajdowanie pierwiastków wymiernych \(x=\dfrac{m}{n}\) i rozkład na czynniki \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Znane rozwiązania podstawowych równań trygonometrycznych, hiperbolicznych i odwrotnych

Znajdowanie pierwiastków liczb zespolonych \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Podstawienie tangensa połówkowego \(\sin(x)=\dfrac{2\,t}{1+t^2}\) oraz \(\cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\), gdzie \(t=\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Twierdzenie o dwumianie Newtona \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Tożsamości wielomianowe dla sum i różnic \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Redukcja wyrazów podobnych i wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias \(x^2+x\;\Rightarrow\; x\,(x+1)\)

Mnożenie na krzyż ułamków \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\) oraz uzupełnianie do kwadratu \((a+b)^2+c\)

Potęgowanie obu stron w celu wyeliminowania logarytmów naturalnych

Logarytmy zespolone \(\ln\left(a+i\,b\right)\) oraz wzór Eulera \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Podstawowe równania funkcyjne \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Ten kalkulator oblicza pochodną funkcji \(f\left(x\right)\) lub \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) i wyświetla reguły użyte do obliczenia pochodnej.

Zdefiniowane są następujące reguły:

Pochodne podstawowe dla \(x\), \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\), \(\cot(x)\), \(e^x\), \(a^x\), \(\ln(x)\)\(\,\ldots\)

Reguła stałej: \((c)'=0\)

Reguła mnożenia przez stałą: \(\left(c\,f(x)\right)'=c\,f'(x)\)

Reguła sumy: \(\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\)

Reguła różnicy: \(\left(f(x)-g(x)\right)'=f'(x)-g'(x)\)

Reguła potęgowa: \(\left(x^n\right)'=n\,x^{n-1}\)

Reguła iloczynu: \(\left(f(x)\,g(x)\right)'=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x)\)

Reguła ilorazu: \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{g(x)\,f'(x)-f(x)\,g'(x)}{\left(g(x)\right)^2}\)

Reguła odwrotności: \(\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)'=\dfrac{-f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}\)

Reguła łańcuchowa: \(\left(f\left(g(x)\right)\right)'=f'_g\left(g\right)\,g'(x)\)

Wartość bezwzględna: \(\left(\left|x\right|\right)'=\dfrac{x}{\left|x\right|}\)

Funkcja znaku: \(\left(\operatorname{sgn}\left(f\right)\right)'=2\,\delta\left(x\right)\), gdzie \(\delta\) jest deltą Diraca

Kalkulator oblicza granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\), korzystając z następujących właściwości:

Granica stałej \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}C=C\)

Reguła mnożenia przez stałą \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}k\,f(x)=k\,\lim_{x\to{a}}f(x)\)

Reguła sumy i różnicy \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\pm\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Reguła iloczynu \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\)

Reguła ilorazu \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}\), jeśli \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq 0\)

Granica funkcji wykładniczej \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\)

Granice podstawowe \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}=1\) oraz \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}=e\)

Twierdzenie o trzech funkcjach: jeśli \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\) i \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=\lim_{x\to{a}}h(x)=L\;\Rightarrow\;\lim_{x\to{a}}f(x)=L\)

Reguła de l'Hôpitala: jeśli \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=0\) i \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)=0\) (lub obie granice równe \(\infty\)), to \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}=\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\)

Szereg Taylora \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\)

Stosuje mnożenie przez sprzężenie, podstawienia oraz wzór Eulera

Oblicza zarówno granice obustronne \(x\to{a}\), jak i granice jednostronne \(x\to{a^+}\)

Ten kalkulator przekształca wyrażenie zespolone \(f(z)\) do postaci algebraicznej \(z=a+i\,b\), postaci trygonometrycznej \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) oraz postaci wykładniczej \(z=r\,e^{i\,\varphi}\), wykorzystując:

Moduł liczby zespolonej: \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

Pierwiastek liczby zespolonej: \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\)

Potęga liczby zespolonej: \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\)

Usuwanie niewymierności przez sprzężenie: \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\)

Logarytm zespolony: \(\operatorname{Log}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\)

Wartość główna logarytmu zespolonego: \(\mathrm{Im}\operatorname{Log}\in(-\pi,\,\pi]\)

Tożsamości trygonometryczne i hiperboliczne, takie jak \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\) lub \(\sinh\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\), oraz wzór Eulera \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Ten kalkulator oblicza podane wyrażenia macierzowe z macierzami \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) i \(\mathrm{C}\)

Jego funkcjonalność obejmuje operacje na macierzach, takie jak: dodawanie \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), odejmowanie \(\mathrm{A}-\mathrm{B}\), mnożenie \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), wyznacznik \(\left|\mathrm{A}\right|\), transpozycja \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), rząd \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), macierz odwrotna \(\mathrm{A}^{-1}\), mnożenie przez skalar \(a\cdot\mathrm{B}\) lub dodawanie skalara \(c+\mathrm{A}\)

Oblicza pochodną elementów macierzy \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{gathered}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{gathered}\right)}\) lub całkę elementów macierzy \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{gathered}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{gathered}\right)}\)

Stosuje funkcje matematyczne \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) do macierzy element po elemencie, na przykład \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{gathered}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{gathered}\right)}\)

Oblicza zarówno wartości liczbowe, jak i kombinacje operacji arytmetycznych i funkcji