Kalkulatory krok po kroku:

Kalkulator rozwiązuje \(F\left(x,\,y,\,y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\) — równania różniczkowe zwyczajne (RRZ) różne zamówienia, a mianowicie:

Rozdzielne równanie: \(p\left(x\right)\mathrm{d}x=q\left(y\right)\mathrm{d}y\)

Równania jednorodne: \(y'=f\left(k\,x,\;k\,y\right)=f\left(x,\;y\right)\)

Doprowadzenie do jednorodnego, podstawienie \(y=z^{\lambda}\)

Równania liniowe pierwszego rzędu: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\)

Równania: \(y'=f\left(\frac{a_1\,x+b_1\,y+c_1}{a\,x+b\,y+c}\right)\)

Równanie różniczkowe Bernoulliego: \(y'+a\left(x\right)\,y=b\left(x\right)\,y^n\)

Równanie różniczkowe Riccatiego: \(y'+a\left(x\right)\,y+b\left(x\right)\,y^2=c\left(x\right)\)

Całkowite równanie różniczkowe: \(P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\)

Znalezienie czynnika integrującego: \(\mu\cdot P\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}x+\mu\cdot Q\left(x,\;y\right)\,\mathrm{d}y=0\) — gdzie \(\mu=\mu\left(x\right)\), \(\mu=\mu\left(y\right)\) lub \(\mu=\mu\left(z\left(x,\,y\right)\right)\)

Grupowanie pod różniczkowe \(\mathrm{d}\left(F\left(x,\,y\right)\right)=0\)

Równania nierozwiązany względem pochodną: \(F\left(x,\;y,\;y'\right)=0\) — metoda wprowadzania parametrow \(p\,\); obliczenie całkowitej różnicy; podstawienie \(\mathrm{d}y=p\,\mathrm{d}x\); decyzja dotycząca \(y'\)

Równania umożliwiające redukcję porządku — podstawianie \(y^{\left(k\right)}=z\) dla równań \(F\left(x,\,y^{\left(k\right)},\,y^{\left(k+1\right)},\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\); podstawienie \(y'=p\left(y\right)\) dla \(F\left(y,\,y',\,y''\,\dots,y^{\left(n\right)}\right)=0\); jednorodne równanie dla y i jego pochodne \(y',\,y'',\dots,y^{\left(n\right)}\); równanie jednorodne względnie \(x\) i \(y\) w uogólnionym sensie

Jednorodne i niejednorodne równania liniowe o stałych współczynnikach: \(y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_0\,y=f\left(x\right)\) — ze specjalną prawą stroną

Równanie Eulera: \(x^n\,y^{\left(n\right)}+a_{n-1}\,x^{n-1}\,y^{\left(n-1\right)}+\ldots+a_{1}\,x\,y'+a_0\,y=0\)

Różne podstawienia z kontekstu równania

W przypadku równań pierwszego rzędu stosuje się metodę Bernoulliego lub wariacje stałej

Transformacje trygonometryczne i hiperboliczne

Sprawdzanie utraty prywatnych rozwiązań

Podczas obliczeń kalkulator samodzielnie dokonuje grupowania, podstawień lub mnożenia równania, wybierając w procesie bardziej odpowiednią metodę rozwiązania

Kalkulator rozwiązuje \(\displaystyle \int{f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C}\) — całka nieoznaczona przy użyciu następujących metod i technik:

Podstawowe całki tabelaryczne \(\displaystyle\int{x^n}\;\mathrm{d}x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\;\left(n\neq-1\right)\), \(\displaystyle\int{a^x}\;\mathrm{d}x=\dfrac{a^x}{\ln\left(a\right)}+C\)\(\dots\)

Reguła sumy (różnicy) \(\displaystyle\int{\left(u\pm v\pm w\right)}\;\mathrm{d}x=\int{u}\;\mathrm{d}x\pm\int{v}\;\mathrm{d}x\pm\int{w}\;\mathrm{d}x\)

Mnożenie przez stałą \(\displaystyle\int{c\,f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=c\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x\)

Reguła podmiany\(\displaystyle\int{f\left(x\right)}\;\mathrm{d}x=\left[\begin{array}{c}x=\varphi\left(t\right)\\\mathrm{d}x=\varphi'\left(t\right)\,\mathrm{d}t\end{array}\right]=\int{f\left(\varphi\left(t\right)\right)\,\varphi'\left(t\right)}\;\mathrm{d}t\)

Całkowanie funkcji wymiernych: trygonometryczny \(\mathrm{R}\left(\sin\left(x\right),\;\cos\left(x\right)\right)\); hiperboliczny \(\mathrm{R}\left(\operatorname{sh}\left(x\right),\;\operatorname{ch}\left(x\right)\right)\); racjonalne ułamki \(\dfrac{P_k\left(x\right)}{Q_n\left(x\right)}\)

Metody nieokreślonych współczynników: faktoryzacja wielomianów, irracjonalność liniowo-ułamkowa \(\mathrm{R}\left(x,\,\left(\dfrac{a\,x+b}{c\,x+d}\right)^{r_1,\dots,\,r_n}\right)\), metoda Ostrogradskiego \(\displaystyle\int{\dfrac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}=\dfrac{P_2\left(x\right)}{Q_2\left(x\right)}+\int{\dfrac{P_1\left(x\right)}{Q_1\left(x\right)}}\), zawierający pierwiastek z trójmianu kwadratowego \(\mathrm{R}\left(x, \sqrt{a\,x^2+b\,x+c}\right)\), metody bezpośrednie \(\displaystyle\int{\dfrac{P_n\left(x\right)}{\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{P_m\left(x\right)}{\left(x-\alpha\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\), \(\displaystyle\int{\dfrac{M\,x+N}{\left(x^2+p\,x+q\right)^n\,\sqrt{a\,x^2+b\,x+c}}}{\;\mathrm{d}x}\)

Całkowanie przez części \(\displaystyle\int{u}{\;\mathrm{d}v}=u\,v-\int{v}{\;\mathrm{d}u}\), podstawienia trygonometryczne i hiperboliczne, podstawienia Eulera, całki różniczki dwumianowej \(\displaystyle\int{x^m\,\left(a\,x^n+b\right)^p}{\;\mathrm{d}x}\)

Iloczyn funkcji potęgowych \(\sin^n\left(x\right)\,\cos^m\left(x\right)\) i hiperboliczny \(\operatorname{sh}^n\left(x\right)\,\operatorname{ch}^m\left(x\right)\)

Korzystanie ze znanych wzorów całkowania, integracja z modułem, funkcje całkowe \(\Gamma\left(s,\,x\right)\), \(\operatorname{Ei}\left(x\right)\), \(\operatorname{li}\left(x\right)\), \(\operatorname{Si}\left(x\right)\), \(\operatorname{Ci}\left(x\right)\), \(\operatorname{Shi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Chi}\left(x\right)\), \(\operatorname{Li_2}\left(x\right)\), \(\operatorname{S}\left(x\right)\), \(\operatorname{C}\left(x\right)\), \(\operatorname{erf}\left(x\right)\), \(\operatorname{erfi}\left(x\right)\), grupowanie pod różniczkowe \(\displaystyle\int{\mathrm{d}\left(\mathrm{F}\left(x\right)\right)}\), uniwersalne podstawienie trygonometryczne/hiperboliczna, wzór Eulera

Potęga, transformacje logarytmiczne, trygonometryczne i hiperboliczne

Zastępstwa, grupowanie z uproszczeniami

Kalkulator rozwiązuje problem \(\displaystyle\int\limits_{b}^{a}{f\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\) — obliczenie całki za pomocą nieoznaczona, stosując wzór Newtona-Leibniza, skrócenie okresu, gdy całka jest parzysta lub nieparzysta z symetrycznymi granicami, okresowość

Aby obliczyć całki niewłaściwe, kalkulator uwzględnia granice w nieskończoności, granice lewostronne i prawostronne w punktach nieciągłości funkcji na przedziale

Lista zaangażowanych funkcji matematycznych:

\(\ln\) \(\sin\) \(\cos\) \(\operatorname{tg}\) \(\operatorname{ctg}\) \(\operatorname{arctg}\) \(\arcsin\) \(\arccos\) \(\operatorname{arcctg}\) \(\operatorname{sh}\) \(\operatorname{ch}\) \(\operatorname{th}\) \(\operatorname{cth}\) \(\operatorname{sch}\) \(\operatorname{csch}\) \(\operatorname{arsh}\) \(\operatorname{arch}\) \(\operatorname{arth}\) \(\operatorname{arcth}\) \(\operatorname{arcsec}\) \(\operatorname{arccsc}\) \(\operatorname{arsch}\) \(\operatorname{arcsch}\) \(\sec\) \(\operatorname{cosec}\) \(\left|f\right|\)

Zbiór rozwiązanych całek nieoznaczonych: Dysk Google .pdf

Kalkulator rozwiązuje \(f\left(x\right)=0\) — równania, a mianowicie:

Definiuje dopuszczalnych wartości \(D\left(f\right)\)

Równania liniowe \(a\,x+b=0\)

Równania kwadratowe o rzeczywistych i zespolonych współczynnikach \(a\,x^2+b\,x+c=0\)

Równania odwrotne 3 stopnia \(a\,x^3+b\,x^2+b\,x+a=0\)

Równania sześcienne \(a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d=0\)

Równania odwrotne 4 stopnia \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2\pm b\,x+a=0\)

Uogólnione równania odwrotne 4 stopnia \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+\dfrac{a\,d^2}{b^2}=0\)

Iloczyn czterech wyrazów postępu arytmetycznego \(\left(a\,x+b\right)\,\left(a\,x+b+c\right)\,\left(a\,x+b+2\,c\right)\,\left(a\,x+b+3\,c\right)=d\)

Równania różnych potęg, logarytmiczne, trygonometryczne, hiperboliczne i ich odwrotności

Stosuje metodę Ferrari, rozwiązując sześcienną rezolwentę dla równania \(a\,x^4+b\,x^3+c\,x^2+d\,x+e=0\)

Znalezienie racjonalnego korzenia \(x=\dfrac{m}{n}\), rozkład na czynniki \(f_1\left(x\right)\cdots f_n\left(x\right)=0\)

Wzory tabelaryczne dla funkcji trygonometrycznych, hiperbolicznych i odwrotnych

Wyodrębnianie pierwiastka liczby zespolonej \(\sqrt[n]{a+i\,b}\)

Wzory i przekształcenia trygonometryczne i hiperboliczne

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne \(u=\operatorname{tg}\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

Dwumian newtona \((a+b)^n=a^n+C^1_n\,a^{n-1}\,b+\ldots+C^{n-1}_n\,a\,b^{n-1}+b^n\)

Wzory na sumy i różnice \(x^n+y^n\), \(x^n-y^n\)

Grupowanie terminów, usuwanie wspólnego czynnika, dzielenie i mnożenie obu stron równania

Metoda proporcji \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Rightarrow\;a\,d=b\,c\), wybór pełnego kwadratu \((a+b)^2+c\)

Logarytm obu stron równania, potęgowanie

Logarytm zespolony \(\ln\left(a+i\,b\right)\), wzór Eulera \(e^{i\,x}=\cos\left(x\right)+i\,\sin\left(x\right)\)

Podstawienia z kontekstu równania

Przejście do prostego równania funkcjonalnego \(f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)\)

Podstawienie wcześniej obliczonego równania do równania bieżącego, poszukiwanie rozwiązania z dopuszczalnych wartości

Dla funkcji \(f\left(x\right)\) lub \(f\left(x,\,y,\,y',\dots,\,z,\,z',\dots\right)\) — gdzie \(y=y\left(x\right)\), \(z=z\left(x\right)\) kalkulator wyświetla pochodną, wraz z zasadami obowiązującymi na konkretnych kroki

Zdefiniowano następujące zasady:

Funkcje tabelaryczne \(\sin\left(x\right)\), \(\cos\left(x\right)\)\(\,\ldots\), dodanie \(u+v\), odejmowanie \(u-v\), mnożenie \(u\,v\), podział \(\dfrac{u}{v}\), różne złożone funkcje \(e^{\cos\left(x\right)}\), funkcje mocy \(x^a\), \(a^x\), moduł \(\left|f\right|\) i funkcja signum \(\operatorname{sgn}\left(f\right)\)

Kalkulator znajduje granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\), za pomocą właściwości sum \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)+g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}+\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\), mnożenie \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)\,g\left(x\right)}=\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}\,\lim_{x\to{a}}{g\left(x\right)}\), funkcja wykładnicza \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{a^{f\left(x\right)}}=a^{\lim_{x\to{a}}{f\left(x\right)}}\) granic, wspólne granice \(\displaystyle\lim_{x\to{0}}{\dfrac{\sin\left(x\right)}{x}}\) and \(\displaystyle\lim_{x\to{\infty}}{(1+\dfrac{1}{x})^x}\), twierdzenie o trzech ciągach \(g\left(x\right)\leq f\left(x\right)\leq h\left(x\right)\), faktoryzacja, mnożenie sprzężonych \(\left(a-b\right)\,\left(a+b\right)\), reguła de l’Hospitala \(\displaystyle\lim_{x\to{a}}{\dfrac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}}\), ekspansja Taylora \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\,\left(x-a\right)^n\), podstawienia, grupowania i wzór Eulera. Obliczono limity dwustronne \(x\to{a}\), i jednostronne \(x\to{a+}\)

Kalkulator przelicza liczbę zespoloną \(z\) do algebraicznego \(z=a+i\,b\), trygonometryczny \(z=r\cdot(\cos(\varphi)+i\,\sin(\varphi))\) lub forma wykładnicza \(z=r\,e^{i\,\varphi}\). Korzystanie z operacji modułu \(r=\left|a+i\,b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\), pomnożenie ułamka przez jego koniugat \(\dfrac{z}{a+i\,b}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{\left(a+i\,b\right)\cdot\left(a-i\,b\right)}\;\Rightarrow\;\dfrac{z\cdot\left(a-i\,b\right)}{a^2+b^2}\), ekstrakcja korzenia \(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k}}{n}\right)\right)\), podniesienie do potęgi \(z^n=r^n\,\left(\cos\left(n\,\varphi\right)+i\,\sin\left(n\,\varphi\right)\right)\), wzory na logarytm zespolony \(\operatorname{Ln}\left(z\right)=\ln\left(r\right)+i\,(\varphi+2\,\pi\,\mathrm{k})\), trygonometryczny \(\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\,\cos\left(\beta\right)\pm\cos\left(\alpha\right)\,\sin\left(\beta\right)\), i hiperboliczny \(\operatorname{sh}\left(i\,b\right)=i\,\sin\left(b\right)\) formuły, a także formuła Eulera \(e^{i\,\varphi}=\cos\left(\varphi\right)+i\,\sin\left(\varphi\right)\)

Kalkulator koncentruje się na operacjach krok po kroku na macierzach \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) i \(\mathrm{C}\)

Jego funkcjonalność obejmuje takie operacje macierzowe jak: dodanie \(\mathrm{A}+\mathrm{B}\), mnożenie \(\mathrm{C}\cdot\mathrm{B}\), wyznacznik \(\left|\mathrm{A}\right|\), transpozycja \(\mathrm{B}^{\mathrm{T}}\), ranga \(\operatorname{rank}\mathrm{C}\), macierz odwrotna \(\mathrm{A}^{-1}\), potęgowanie \(\mathrm{B}^4\), trójkątna forma \({\scriptsize\left(\begin{matrix}2&3\\0&5\end{matrix}\right)}\)

Mnożenie macierzy przez stałą (dowolna funkcja) \(a\cdot\mathrm{B}\) lub dodatek ze stałą \(c+\mathrm{A}\)

Obliczanie pochodnej elementów macierzy \(\left(\mathrm{C}\right)'_x={\scriptsize\left(\begin{matrix}\left(\mathrm{a_{11}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{12}}\right)'_x\\\left(\mathrm{a_{21}}\right)'_x&\left(\mathrm{a_{22}}\right)'_x\end{matrix}\right)}\), i podobnie całkowanie macierzy \(\int{\mathrm{A}}{\;\mathrm{d}x}={\scriptsize\left(\begin{matrix}\int{\mathrm{a_{11}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{12}}}{\;\mathrm{d}x}\\\int{\mathrm{a_{21}}}{\;\mathrm{d}x}&\int{\mathrm{a_{22}}}{\;\mathrm{d}x}\end{matrix}\right)}\)

Element-mądry zastosowanie do matrycy funkcji matematycznych \(\sin\), \(\cos\)\(\,\ldots\) — \(\ln\left(\mathrm{A}\right)={\scriptsize\left(\begin{matrix}\ln\left(\mathrm{a_{11}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{12}}\right)\\\ln\left(\mathrm{a_{21}}\right)&\ln\left(\mathrm{a_{22}}\right)\end{matrix}\right)}\)

Kalkulator obsługuje zarówno wartości liczbowe, jak i kombinacje operacji arytmetycznych i funkcji

Jeśli w trakcie rozwiązania macierz lub para macierzy nie spełnia warunku aktualnej operacji, wyświetlane są wszystkie obliczone wcześniej kroki i wyraźnie wskazana jest rozbieżność

Po umieszczeniu wskaźnika myszy na obliczonych elementach wszystkie wartości użyte w obliczeniach są podświetlone. Na przykład podczas mnożenia macierzy można zobaczyć, które elementy wiersza i kolumny biorą udział w obliczeniach

Wszystkie operacje inne niż macierzowe są wykonywane w zwykłej kolejności podczas obliczeń